Matematika verseny/2011
(Új oldal, tartalma: „ == Matematika verseny 2011 == A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. [[Matematika verseny|A verseny által…”)
Újabb szerkesztés →
A lap 2013. április 10., 13:30-kori változata
== Matematika verseny 2011 ==
A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
Tartalomjegyzék |
1. feladat
Adott a,b,c,d oldalhosszúságú síkbeli négyszögek közül melyik lesz maximális területű? Az oldalak ebben a sorrendben csatlakoznak.
2. feladat
Melyek azok a tízes számrendszerben felírt természetes számok, melyek utolsó számjegyét az elejére áthelyezve az eredeti szám 2/3-át kapjuk?
3. feladat
Legyen A invertálható -es mátrix.
Tegyük fel, hogy az A és A − 1 mátrixok minden el
eme nemnegatív.
Bizonyítsuk be, hogy van olyan k > 0 egész,
hogy Ak diagonális mátrix.
4. feladat
5. feladat
a. Legyenek egységvektorok egy euklideszi térben,
, ha
.
Mutassuk meg, hogy
lineárisan függetlenek.
b. Lengyen m = (n − 1)n / 2 + 1, egységvektorok,
, ha
.
Mutassuk meg, hogy
közül kiválasztható n lineárisan független vektor.
6. feladat
Az irányított G egyszerű gráf irányított kromatikus száma, χi(G)
az a legkisebb k,
amelyre k színnel színezhetők a csúcsok úgy,
hogy egy él két vége különböző színű
és bármely adott színpárban csak az egyik irányba vezethet él.
Mutassuk meg, hogy nincs olyan függvény,
melyre
teljesül minden G-re,
ahol χ(G) a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma.
Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.
7. feladat
Mutassuk meg, hogy ha
és minden x > 0-ra
,
akkor
.
8. feladat
Legyen .
Mutassuk meg, hogy az
számok egy véletlen permutációjánál
a. 1 / k valószínűséggel lesznek
az számok ugyanabban a ciklusban,
b. 1 / k! valószínűséggel lesznek
az számok csupa különböző ciklusban.
9. feladat
Legyenek P,Q ortogonális projekciók egy véges dimenziós térben. Mutassuk meg, hogy
10. feladat
Legyen f(z) reguláris a Rez > 0 félsíkon. Tegyük fel, hogy
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges δ > 0 esetén