Matematika A3a 2008/10. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
Taylor-sor
A Cauchy-féle integrálformula következménye a következő tétel, mely a komplex differenciálelmélet egyik megjellegzetesebb eredménye:
Tétel. Ha az f: C C függvény az értelmezési tartománya egy z0 pontjában és ennek egy nyílt környezetében komplex differenciálható (azaz z0-ban reguláris), akkor f a z0 pont egy V = Bδ(z0) környezetén mindenhol végtelenszer differenciálható, V minden pontjában az f z0-beli Taylor-sora konvergens és ennek határfüggvénye V-n előállítja f-et:
(azaz f analitikus z0-ban).
A tétel tehét azt mondja ki, hogy "reguláris függvény analitikus".
Megjegyezzük, hogy 1. mint minden nemnegatív egész hatványokat tartalmazó hatványsor, a Taylor-sor is egy körlap belsején abszolút konvergens, mely körlap sugara a konvergenciasugára, mely
ahol a sor a ∑an(z-z0)n, a körlap középpontja z0, és ahol a reciprok kivételesen úgy értendő, hogy 1/0 = ∞, 1/∞ = 0.
2. A legyakrabban használt Taylor-sorok a következők:
természetesen az utolsónál a z=1 pont 1 sugarú nyílt környezetében értelmezett logaritmusról van szó.
3. Mint minden hatványsor ez is egyenletesen konvergál az összegfüggvényéhez, így tagonként deriválható és integrálható.
Laurent-sor
A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, melyek egy adott pontban nem feltétlenül regulárisak, de azon kívül egy környzetben azok.
Tétel. Ha az f: C C függvény olyan, hogy a z0 pont egy kipontozott környezetében az f függvény reguláris, akkor a z0 pont körül f Laurent-sorba fejthető, azaz léteznek olyan z_0 körüli
körgyűrű hogy ezen belül egy
sor előállítja f-et.
A körgyűrű sugarai
Példa. Mely pontok körül fejthető sorba az
függvény és mik a konvergenciatartományok? Megoldás. z ≠ 0-ra reguláris, így minden z0 ≠ 0-ra Taylor-sorba fejthető. Ez a sor:
A sugara 1, hisz |(-1)||z-z0|<1 kell, ami ugyanaz, mint |z-z0|<1. Persze, ha |z0| < 1, akkor a sugár, maga a |z0|, hisz a 0-t nem állítja elő a sor.
z = 0-ban Laurent-sora is van éspedig önmaga:
Ennek a sugarai R-=0, mert a (...0,0,1) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0, és R-=+∞, mert a (0,0,0,0,0,...) sorozat n-edik gyökeinek limszupja 0 és "reciproka" + végtelen. (Ez egyben a ∞ körüli Laurent-sor, melynek csak reguláris része van.)
Reguláris- és főrész
A Laurent-sor
részét a sor főrészének, a
részét a sor reguláris részének nevezzük.
A Laurent-sor együtthatói
amennyiben a G egy a körgyűrűben haladó a z0-t egyszer körülölelő zárt görbe.
Példa. Fejtsük Laurent-sorba az alábbi függvényt a -i pont körül:
1. Megoldás. Tegyük z+i=w-t és helyettesítsünk a sin már ismert sorába. w≠ 0-ra:
"2n+1-3=2n-2=2k"-val ill 2n=2k+2-vel, ill n=k+1
2. Megoldás. Az képlettel és a sin deriváltjaival.
n +4 < 0-ra, azaz n < -4 -re az integrandus reguláris, így az integrál 0, sőt n=-4-re és n=-3-re is ez a helyzet. n > -3 -re a deriváltakra vonatkozó Cauchy-féle képletekkel kell kiszámítanunk, az n-edik együtthatót abból a képletből számoljuk, mely nevezőben lévő n+4 = (n+3)+1 miatt az n+3-edik deriváltat adja. Mivel
ezért
2l=n-nel
- és
Főrész nélküli Laurent-sor
Ha nincs a Laurent-sornak főrésze, akkor R-=0 és az f függvény a z0 pontban vagy reguláris, vagy megszüntethető szakadása van. Ez utóbbi amiatt, hogy ebben az esetben f a z0-on kívül azonos egy hatványsor összegfüggvényével, mely azonban Abel tétele miatt folytonos és így határértéke a helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát, ha f ilyen, akkor:
hiszen a hatványsoroknál a középpontban a 00 hatványt 1-nek értelmezzük.
f kiterjeszthető ezek szerint analitikusan kiterjeszthető és az értéke
Világos, hogy ezesetben a cn együtthatók pontosan az f kiterjesztésének taylor-sori együtthatói, hiszen a deriváltakra vonatkozó Cauchy-formulákat a Taylor-sorral összevetve:
bármilyen a z0-t egyszer körülölelő, a körgyűrűben haladó zárt görbére.
Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi függvény reguláris a 0 pontban és számítsuk ki a a kiterjesztés összes magasabbrendű deriváltját!
Megoldás. Elvileg ez egy Laurent-sor, hisz számlálóbeli reguláris függvény van elosztva z2-tel. De konkrétan elvégezve:
azaz f a 0-t kivéve egy reguláris függvénnyel egyenlő, azaz kiterjeszthető regulárissá és ez a fenti. A deriváltakat a Taylor-sor együtthatói adják a megfelelő faktoriálissal megsorozva. k=n-2-re:
azaz
A végtelen pont körüli Laurent-sor
Legyen az f: C C függvény az ∞ egy környezetében mindenhol reguláris.
- Regulárisnak nevezzük f-et ∞-ben, ha az f(1/id) függvény reguláris 0-ban, azaz ott megszüntethető szakadása van.
- Az f ∞-beli Laurent-során a ∑(1/id) sort értjük, ahol ∑ az f(1/id) függvény 0-beli Laurent-sora.
- ∑ főrésze a ∑(1/id)-ban a reguláris lesz és fordítva, azaz
- ∑(1/id) konvergenciatartománya |z| > 1/r számok, ahol 0<|z|<r-ra konvergens ∑.
Példa. Írjuk fel az
és az
függvények ∞ körüli Laurent-sorát!
Megoldás. 1.
Ez csak főrészt tartalmazó 0 < |z| < +∞ tartományon konvergens sor, azaz előállítja f(1/id)-t. f ugyanúgy viselkedik ∞-ben, mint f(1/id) a nullában, így f'-nek a ∞-ben csak főrészt tartalmaz és a sora maga az f.
2.
Ennek sora:
- ez = 1 + z + ...
és a |z| < +∞ tartományon konvergens és csak reguláris része van. Tehát
mindenhol konvergens és szintén csak reguláris része van. Sőt, ekkor azt mondjuk, hogy f az ∞-ben reguláris.
3.
Ez a B(0,1)-en konvergens és csak reguláris tagokat tartalmaz. Így a ∞ körüii sor is csak azt fog tartalmazni és
konvergens lesz a |z| > 1-en.
Sziguláris helyek és osztályozásuk
Az f: D C nyílt halmazon értelmezett függvény izolált szinguláris helyének nevezzük a pontot, ha f értelmezve van a z0 egy kipontozott környzetében, de ott a függvény nem reguláris.
Itt a nem regulárist úgy értjük, hogy vagy értelmezve van, de ott nem komplex deriválható, vagy nincs értelmezve.
A definícióval másképp is fogalmazható. Ha az f: D C nyílt halmazon értelmezett függvény esetén a pont olyan, hogy létezik δ > 0, hogy
akkor a következők ekvivalensek:
- z0 f-nek izolált szinguláris pontja
- z0-ban f nincs értelmezve, vagy nem folytonos
ugyanis, ha folytonos az adott pontban, körülötte pedig reguláris, akkor az adott pontban is reguláris (v.ö. Riemann-tétel).
A -n reguláris függvény sorbafejthető z0 körül. Éppen ezért a szingularitásait könnyen osztályozhtajuk a Laurent-sora szerint. Mintpedig hogy a Laurent-sor c-1 együtthatója maga a reziduum, ezért a szinguláris helyek körüli sorfejtésből mindig adódik a reziduum is. Értelmezzük a &infty; kötrüli reziduumot is, az a -c-1 együttható.
Megszüntethető szingularitás
f-nek pontosan akkor van a z0-ban megszüntethető szakadása, ha a Laurent-sora csak reguláris részből áll. Ebben az esetben f regulárissá tehető. Sőt, ílymódon definiálhatjuk az ∞ pont regularitását is.
Másként f-nek pontosan akkor van a z0-ban megszüntethető szakadása, ha létezik és véges.
Példa. z0 = ∞
Ez a függvény a végtelenben reguláris, vagy másként megszünetethető szingularitása van. Ugyanis a
függvény a 0-ban folytonos módon eltűnik. Az ∞ környzetében a függvényt az
amely csak reguláris tagokat tartalmaz és
ahogy a tagonként határétékképzésből is ez jön ki.
Pólusszingularitás
Az f nek pólusszingularitása van a z0 izolált szinguláris helyen, ha a Laurent-sora főrészében legalább egy, de legfeljebb véges sok tag van.
Részletesebben. Az f nek k-ad rendű pólusszingularitása van a z0 izolált szinguláris helyen (k>0 egész), ha a Laurent-sora főrészében a c-k együttható nem nulla, de az 1/z k-nál magasabb hatványai már nem szerepelnek a főrészben.
Másként.
- z0 pontosan akkor pólusszingularitás, ha
- z0 pontosan akkor k-ad rendű pólusszingularitás, ha véges, nemnulla, de már nulla.
Plusszingularitások rendjének kiszámítására két fontos lemmát használhatunk.
Állítás. Az f: D \ {z0} C függvénynek pontosan akkor van k-ad rendű pólusszingularitása a z0 helyen, ha létezik olyan D-n reguláris g függvény, mely z0-ban nem nulla, és minden D-beli z ≠z0-ra:
Azaz az ilyen f-ek
alakúak, ahol g reguláris, ezt azért nem bizonyítjuk, mert szinte csak átfogalmazása a definíciónak.
Példa. Világos, hogy az
függvény pólusszingularitásának foka 1821.
Példa. Milyen szingularitása van az
függvénynek?
Megoldás.
-ben az első tényező regulárissá tehető 0-ban (hiszen egy 0-körüli reguláris hatánysorral azonos a 0-n kívül), így f-nek 1817-ed rendű pólusszingularitása van.
Állítás. Ha az f függvény
alakú, ahol g,h reguláris és h-nak a z0-ban k multiplicitású zérushelye van, akkor f -nek k-adrendű pólusa van z0-ban.
Bizonyítás. Vegyük h z0 körüli Taylor-sorát. A k multiplicitás azt jelenti, hogy a
sorban
de
Tehát
Kiemelve (z-z0)k-t kapjuk:
ahol az utolsó tényező reguláris.
Példa.
Megoldás. Másodrendű szing a zérushelyeken. Ugyanis, a zérushelyek
és ezek másodrendűek, mert: