Matematikai előismeretek 7.
- Lásd még: Matematikai előismeretek
Mértani sorozat
- (a1, a2, a3, a4, ... )
mértani sorozat, ha van olyan q szám, hogy
.
Ilyenkor q-t a mértani sorozat kvociensének nevezzük. Megengedjük, hogy q=0 legyen, ekkor a fenti helyett
- a1 tetszőleges, a2 = a3 = ... = 0
Ha (an) mértani sorozat, akkor
nemnegatív tagokra:
, minden n-re, ha an − 1 is a sorozat tagja.
, minden n-re és k-ra, ha an − k is a sorozat tagja.
Egy nemnegatív sorozat pontosan akkor mértani sorozat, ha bármely egymás követő három tagja közül a második a számtani közepe az elsőnek és a harmadiknak.
Általában pedig pontosan akkor mértani, ha teljesül rá.
A sorozat első n tagjának összege, azaz Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an a következőképpen számítható ki:
Példák
1. Számtani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a differenciájuk és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?
- a) -7, -4, -1, 2, 5
- b) 2, 4, 8, 16
- c) -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1
- d)
,
,
,
- e)
,
,
,
- f)
,
,
- g)
,
,
- h)
,
,
,
,
- i)
,
,
,
- j)
,
,
,
- k)
,
,
,
2. Adjuk meg a b és c számok értékét úgy, hogy az sorozat
- a) szigorúan monoton növekvő,
- b) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),
- c) monoton növekvő,
- d) monoton csökkenő (fogyó),
- e) periodikus,
- f) konstans,
- g*) csupa pozitív értékű,
- h*) csupa negatív értékű
legyen.
3. Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!
- a) a1 = 5, d = − 4, n = 7
- b) a2 = 6, d = 5, n = 6
- c) a3 = 4, d = − 2, n = 8
- d) a7 = 12,
, n = 1
- e)
, d = log327, n = 4
- f)
,
, n = 4