Matematika A3a 2009/6. gyakorlat
C-differenciálhatóság
Legyen az
- f(z) = f(x + iy) =u(x + iy) +iv(x + iy)
függvény
- valósan parciálisan deriválható z0-ban, azaz az u és v függvények legyenek parciálisan deriválhatóak az (x0,y0) pontban és
- tegyük fel, hogy a Jacobi-mátrixa egy w ∈ C szám mátrixreprezentációja: Jf ∈ C
(1) Ekkor egyfelől, tekintsük a totális differenciálhatóságának deifiníciójában szereplő kifejezést:
Ah(z)=(z-z0)/|z-z0| függvényt kiemelve:
h(z) a komplex "egységgömbön" "futó" függvény, ezért hossza 1. Ha most feltesszük a komplex deriválhatóságot, azonnal kijön belőle, a korlátos x nullához tartó miatt ez a határététék 0, azaz a függvény totálisan diffható.
(2) Ha azonban a totális diffhaságot tesszük fel, akkor a |h(z)|=1 miatt:
a különbdségi hányadosfüggvény abszolút értékének határértéke is nulla, de ez pont azt jelenti, hogy komplex derivált is nulla.
Tehát:
Tétel Az f = u + vi, C ⊃ C függvénynek az z∈ Dom(f) belső pontja, akkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
- f komplex differenciálható z-ben
- f totálisan R-differenciálható z-ban és
ami utóbbi egyenlőség azt fejezi ki, hogy Jf ∈ C és Cauchy--Riemann-egyenleteknek nevezik őket.
Példák
1. A hozzáadás, mint affin függvény R-differenciálható, és R-differenciálja az identitás:
- akkor
2. A komplex számmal szorzás R-differenciálját közvetlenül a Jacobi-mátrixból számíthatjuk ki:
- akkor
Rendkívül érdekes észrevétel tanúi lehetünk ekkor. z wz R-deriváltja maga w komplex számnak megfelelő mátrix, azaz
ha mátrixreprezentációt veszünk. Sőt, visszanézve ez az összeadásra is igaz:
3. Számítsuk ki az f(z) = z2 R-differenciálját!
Legyen z = x + i y. Ekkor z2 = x2 - y2 +i(2xy)
4.. Számítsuk ki az R-differenciálját!
Ha z = x + i y, akkor , így:
tehát a konjugálás sehol sem komplex differenciálható, bár mindenhol R-differenciálható.