Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 5

Topologia

1. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja nyilt?

2. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja zárt?

3. Miert zárt a [-1;1] intervallum?

4. Van-e olyan halmaz, mely se nem zárt se nem nyílt, ill. olyan, ami nyílt is és zárt is?

Mo.

1. Nem, ellenpélda: {[-1/n,1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1/n,1/n]|n∈N} = [-1;1], mely nem nyílt, ugyanis a -1 pontnak nincs olyan környezete, mely teljes egészében [-1 ;1]-ben lenne.

2. Nem, ellenpélda: {[-1+1/n,1-1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1+1/n,1-1/n]|n∈N} = (-1;1), ugyanis ha x∈(-1;1), akkor lesz olyan [-1+1/n,1-1/n] mely lefedi x-et. (-1;1) nem zárt ugyanis komplementere: (-∞,-1]U[1;∞) nem nyílt, hisz az 1 nek nincs olyan környezet, mely teljes egészében a halmazban lenne.

3. Mert komplementere a (-∞,-1)U(1;∞) halmaz két nyílt halmaz uniója, ami nyílt.

4. Igen, a [0;1) se nem nyílt, se nem zárt (0 neki, 1 a komplementerének nem belső pontja), és az üres és R nyílt-zárt, mert egymás komplementerei és az üres és R nyílt.

Határérték teljes differenciálhatóság

Hol totálisan diferenciálható az

$f(x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y+2},\qquad (x,y)\ne (0,0),\qquad f(0,0)=0$

függvény?