Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 9
Inverzfüggvénytétel R-re
Inverzfüggvény deriváltja. Ha az f invertálható függvény differenciálható u-ban, f -1 folytonos u-ban és f'(u) ≠ 0, akkor az inverz is differenciálható u-ban és
Biz.
Itt az
függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.
Megjegyzás. A tételi állításban az inverz folytonossági feltétele csak olyan esetben jelent megszorítást, amikor a függvény nem intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény. Példa olyan invertálható függvényre, melynek deriváltja nem nulla egy adott pontban, de inverze a képpontban nem folytonos:
f ekkor a 0-ban deriválható és f '(0)=1, invertálható, mert R \ (1/Z+) \ Z+-n az identitás és az Z+-n pedig az 1/id, mely értékei vétetnek fel az R \ (1/Z+)- halmaz képeiként. Viszont így f-1 nem korlátos 0-ban, azaz nem folytonos, így nem is differenciálható.
Állítás. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos (tehát ez esetben még akkor is folytonos az inverz, ha a függvénynek magának ugrása van).
Erre a meglepő eredményre egy illusztráló példát adunk.
Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
Tétel -- Globális inverzfüggvény-tétel -- Ha f: I R függvény folytonosan differenciálható és f' sehol se nulla, akkor
- f invertálható
- f inverze folytonos (f homeomorfizmus)
- f inverze deriválható (f diffeomorfizmus)
- minden x ∈ I-re
Megjegyzés. Részletesebb indoklás azt is kimutatja, hogy a derivált folytonossága nem szükséges (bár nem árt :).
Bizonyítás. 1) A derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Darboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát f szigorúan monoton, így invertálható.
2) Minden a ∈ I pontban a derivált nem nulla és folytonos, így létezik olyan környzete, melyben a derivált mindenhol egy L pozitív számál nagyobb. Ezért a Lagrange-tétel miatt a környzet bármely két x1, x2 pontjára:
Emiatt az x=f-1(y) áttéréssel:
azaz
azaz az inverz lipschitzes a környzetben, azaz a pontban folytonos. 3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az u-beli diffhatóság miatt:
Itt az
függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.
Példa. Igazoljuk, hogy létezik a sin inverze a [-π/2,π/2]-n és az inverz folytonos a [-1,1]-en (ez az arcsin) ezen kívül az inverz deriválható a belső pontokban!
Ugyanis. [-π/2,π/2]-n a sin szigorúan monoton nő és inverz képe [-1,1]. Emiatt ez folytonos is és az inverzfüggvény-tétel miatt a nyílton differenciálható, ugyanis
az inverze: