Pontbeli határérték, folytonosság
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
jelben: .
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha
, de
.
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha
és
.
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b) Folytonos-e az inverze?
()
Határérték
Definíció. Legyen f: R R függvény, u ∈ Dom(f)' és A ∈ u ∈
. Ekkor
Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --
Legyen és
, ekkor a következők ekvivalensek egymással:
-
- vagy u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy
és
.
******************* ******************* * Dom(f)' * iz * lim, C * * * ******************* ******************* Dom(f)
Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen ,
és A véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
-
- létezik
,
, hogy
és
Szakadás
A folytonosság Heine-féle jellemzése: Az f: R R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk:
Pontbeli nem-folytonosság jellemzése. Az f: R R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha
- létezik olyan
sorozat, hogy bár
, de
.
Definíció. ,
. Azt mondjuk, hogy f-nek szakadása van u-ban, ha vagy ott nincs értelmezve vagy nem folytonos.