Mátrix rangja
Egy n × m-es mátrix rangján a mátrix oszlopai által kifeszített Rn-beli altér dimenzióját értjük. A mátrix rangja tehát k, ha oszlopai közül kiválasztható k db lineárisan független, de k + 1 db már nem.
Tartalomjegyzék |
Definíció
Ha tehát az A ∈ Rn×m mátrix alakja:
ahol A1, A2, ..., Am az oszlopai, akkor
ahol
jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret.
Példák
1.
ekkor
Világos, hogy az első két vektor független rendszert alkot, tehát r(A) legalább 2 (és legfeljebb 3, mert ilyen hosszúak). A kérdés, hogy a harmadik kifejezhető-e az első kettő lineáris kombinációjaként, azaz megoldható-e az
egyenletrendszer (λ1,λ2)-re? Akibővítet mártix maga az A. Ebből Gauss-eliminációval (a középső kétszeresét kivonjuk a legalsóból)
Az alsó sor így:
aminek nincs megoldása. Tehát a harmadik oszlop nem fejezhető ki az első kettő lineáris kombinációjával, így függetlenek, ergó a rang 3.
- Általánosan: ha az A n × n-es mátrixot Gauss-eliminálva háromszögmátrix jön ki, nemnulla főátlóbeli elemekkel, akkor A rangja a dimenzió: n.
2.
mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ1, λ2, éspedig: λ2 = 4/6 = 2/3, λ1 = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert a másodikat a 2 nemnulla miatt sehogyan se lehet kifejezni az elsőből ennek a két nullája miatt).
Sorrang és determinánsrang
A fenti fogalmaz oszloprangnak nevezzük. Belátható, hogy a függetlesn sorok maximális száma ugyanannyi, mint a független oszlopok maximális száma, azaz a sorrang egyenlő az oszlopranggal. Ebből az is következik, hogy
A számolásokban hasznos a következő tétel. Nevezzük egy tetszőleges mártix esetén aldeterminánsnak azt, hogy a mátrix tetszőleges négyzetes részmátrixának vesszük a determinánsát. Négyzetes részmátrixot úgy választunk ki, hogy vesszük a mátrix valamely k db oszlopát és k db sorát, és a metszéspontokban lévő elemekből alkotunk egy mátrixot. Az ilyet még k-adrendű minormátrixnak, determinánsát k-adrendű aldeterminánsnak is nevezzük. Ha a mátrix n × n-es kvadratikus, akkor maga is sajét maga egy (n-edrendű) minormátrixa. Ekkor
Tétel. Az A mátrix rangja az r szám, ha van r-edrendű nemulla aldeterminánsa, de nincs r + 1-ed rendű nemulla aldeterminánsa.
Ez utóbbi fogalmat determinánsrangnak nevezzük és mely atétel szerint egyezik a ranggal.
Példák
1.
Tekintsük a determinánsrangot! A mátrixot az első oszlopa szerint kifejtve kapjuk, hogy det(M) = 1 (6
2 - 3
4) = 0. Nincs tehát 3 × 3-as nemnulla aldeterminánsa. De a bal felső másodrendű aldetermináns a 6 ≠ 0, azaz van másodrendű, azaz r(M)=2.
2.
C rangja nyilván kisebb négynél, mert a sorok száma négy. A Gauss-eljárás azonnal megmondja, hány független oszlop van.
eszerint 4 független oszlop van (az ötödik már kifejezhető a többiből).
3.
Ez a lépcsős alak arról árulkodik, hogy az 1. 2. és 4. oszlop függetelen vektorrendszert alkot, miközben a 3. kifejezhető az első kettő lineáris kombinációjaként.