Matematika A1a 2008/5. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
Konvergencia
Definíció – Konvergens sorozat – Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy minden ε pozitív szám esetén megadható olyan Nε természetes szám, hogy minden az N-nél nagyobb vagy egyenlő n természetes számra |an - A| < ε. Illetve szimbolikusan:
Példák. Az , , sorozatok konvergensek.
Ugyanis, Előzetes ismereteink szerint a sorozatok infimuma a 0 és csökkenőek, így A-ra alkalmas értéknek látszik a 0.
Legyen ε > 0. Mindegyikre keresünk olyan N-t, amire teljesül, hogy ha n > N, akkor |an| < ε. Rendezve az egyenlőtlenségeket:
Ha tehát N a fenti tulajdonságú, akkor |an| < ε mindháromnál teljesül minden n > N-re. Ez pedig azért van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám (Archimédeszi axióma).
Feladat. Konvergens-e az általános tagú sorozat?
(Útmutatás: képezzük az |an - 5/2| különbséget és becsüljük felül egy 1/n szerű sorozattal, ebből az előző példa gondolatmenetével következtessünk vissza az ε-hoz szükséges N-re.)
Konvergens, ugyanis az A = 5/2 olyan szám, hogy a sorozatnak az A minden környezetén kívül csak véges sok tagja van. A konvergensséget (a definíció alapján) a következőképpen látjuk be. Rögzítsünk tetszőlegesen egy ε pozitív számot. Legyen egyelőre n tetszőleges természetes szám, és vizsgáljuk meg, hogy az |an - A| szám felülbecsülhető-e olyan sorozattal, melynek infimuma a 0. A becsléshez
Ahol az utolsó lépésben kapott eredményről kell igazolnunk, hogy egy N indextől kezdve ε-nál kisebb. Ehhez oldjuk meg a
egyenlőtlenséget! Reciprokot véve mindkét oldalon (és a reláció érvényességének fenntartására figyelve)
Azt kaptuk tehát, hogy minden n-re, mely nagyobb az
számnál, teljesül a kívánt ε-ra vonatkozó egyenlőtlenség. Azaz N-et választhatjuk akármilyen, az r valós számnál nagyobb természetes számra, mert akkor az n > N természetes számokra biztosan igaz lesz a kívánt egyenlőtlenség. r-nél nagyobb N természetes szám pedig van, mert minden valós számnál van nagyobb természetes szám. Tehát összefoglalva, tetszőleges ε pozitív számra, ha
- ,
ahol [.] jelöli az „egészrész”t, akkor
Azok a mértani sorozatok, melyek kvociensének abszolút értéke kisebb mint 1, a nullához konvergálnak. Pont emiatt ezeknél a sorozatoknál teljesen érdektelen, hogy mi az első tagjuk – rendszerint azt 1-nek választjuk.
Fekadat – Ha |q| < 1, akkor (qn) konvergens és lim(qn) = 0.
Az állítás legegyszerűbb (bár módszertanilag talán kifogásolható) bizonyítása, ha megkíséreljük a definíciót felírva megoldani a szokásos egyenlőtlenséget. Legyen ε pozitív szám és keresünk olyan N-et, hogy minden n > N-re
teljesüljön. Ehhez oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget n-re:
Feltehető, hogy q nem nulla, hiszen ekkor az azonosan nulla sorozattal van dolgunk. Vegyük a tizes alapú logaritmusát:
hiszen negatív számmal osztva az egyenlőtlenség megfordul. Ezért ha N-et az előző egyenlőtlenség jobb oldalánál nagyobbra választjuk, akkor a nála nagyobb n-ekre bizonyosan igaz lesz a kívánt állítás.
Nullsorozatok vagy zérussorozatok
A numerikus sorozatok témakörében rendkívül hasznosan alkalmazhatóak azok a sorozatok, melyek határértéke a 0 szám. Ezeket nullsorozatoknak, vagy zérussorozatoknak nevezzük. Világos, hogy az (1/n) sorozat például nullsorozat.
Állítás – Az (an) sorozat pontosan akkor tart a nullához, ha a tagjai abszolút értékeiből képezett (|an|) sorozat a nullához tart.
Megjegyzés. nem nullsorozatok esetén még az állításban foglalt ekvikonvergencia sem érvényes, csak abban az irányban, hogy ha a sorozat konvergens, akkor az abszolútértéksorozat is konvergens. A másik irányra kiváló ellenpélda a ((-1)n) alternáló sorozat.
Állítás – Konvergencia jellemzése nullsorozatokkal – Az (an) sorozat pontosan akkor tart az A valós számhoz, ha az (an - A) sorozat nullsorozat.
Ugyanis, az alábbi két kijelentés triviális módon ekvivalens (és pont ez igazolja a két sorozat definíció szerinti ekvikonvergenciáját)
tetszőleges n-re és ε-ra.
Az alábbi állítás lényegében az úgy nevezett rendőrelv egy alakja, mellyel később foglalkozunk részletesebben.
Állítás – Majorálás nullsorozatokkal – Ha (δn) nullsorozat és az (an) sorozat olyan, hogy valamely M-re minden n > M esetén
- ,
akkor (an) is nullsorozat.
Az alábbi tétel az alkalmazások szempontjából különösen fontos.
Tétel – A „korlátos szor nullához tartó” alakú sorozatok elve – Ha (δn) nullsorozat és az (an) korlátos sorozat olyan, akkor
a nullához tart.
Konvergencia, határérték és műveletek
Definíció – Sorozatműveletek mint pontonként definiált műveletek – Legyen (an) és (bn) valós számsorozat. Ekkor
-
- vagy
- jelöli az an+bn általános tagú sorozatot;
-
- vagy
- jelöli az anbn általános tagú sorozatot;
- ha (bn) tagjai között csak véges sok 0 található, akkor
- vagy
- jelöli az an/bn általános tagú sorozatot;
Megjegyzések. Világos, hogy sorozatok különbségét nem feltétlenül szükséges külön definiálnunk, hiszen (an) - (bn) sorozat tekinthető úgy, mint a (an) + (-1)(bn) sorozat (ahol (-1) az azonosan -1 sorozat).
Másrészt függvényként értelmes lenne a hányados, mint n an/bn, mindenféle megszorítás nélkül, azonban ekkor lehetséges lenne, hogy ennek a sorozatnak az értékei legfeljebb csak véges sok indexre értelmezettek. Az ilyen sorozatok konvergencia szempontjából semmiképpen nem vizsgálhatóak, hiszen ezekre a sorozatokra a konvergencia definíciója értelmessé lenne tehető és minden véges sorozat konvergens volna, de nem lenne egyértelmű határértéke. Másrészt elvileg megengedhetőek lennének olyan sorozatok, melyek végtelen sok helyen definiáltak és és végtelen sok helyen nem definiáltak lennének, de az ilyen sorozatok egyszerűen úgy tekinthetőek, mint (a később definiált értelemben vett) részsorozatok.
Tétel – A konvergencia és a határérték is invariáns az alapműveletekre – Ha (an) és (bn) konvergens sorozatok, akkor
- (an+bn) is konvergens és
- (anbn) is konvergens és
- ha lim(bn) ≠0, akkor (an/bn) is konvergens és
Feladatok
1. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: a számlálót és nevezőt osszuk le a nevező legmagasabb fokú tagjával.)
Hivatkozva a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételre.
Megjegyezzük, hogy polinomok hányados esetén, ha a számláló és a nevező azonos fokszámú, akkor a hányados a számláló és a nevező főegyüthatójának hányadosához tart.
2. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
szereposztásban.
3. Konvergens-e és ha igen, mi a határértéke az alábbi sorozatnak?
(Útmutatás: a második tényezőt tekintsük törtnek és gyöktelenítsük a számlálóját.)
Ezzel kapcsolatban rámutatnánk az
azonosság múlhatatlan fontosságára, melyet az számlálóban alkalmaztunk az
szereposztásban.
Monoton, korlátos sorozatok
A konvergencia alábbi, gyakran alkalmazott, elégséges feltétele a sorozatok monoton tulajdonságát helyezi előtérbe. Mindezekhez elevenítsük fel a monoton sorozat definícióját.
Monoton sorozat
Definíció – Azt mondjuk, hogy az (an) valós számsorozat
- monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
- szigorúan monoton növekvő, ha minden n természetes számra teljesül:
- monoton csökkenő vagy monoton fogyó, ha minden n természetes számra teljesül:
- szigorúan monoton csökkenő, ha minden n természetes számra teljesül:
- monoton, ha monoton növekvő vagy monoton csökkenő
- szigorúan monoton, ha szigorúan monoton növekvő vagy szigorúan monoton csökkenő
Megjegyzés. A monotonitást, például a szigorú monoton növekedést még úgy is megfogalmazhatjuk, hogy tetszőleges n > m természetes számokra: an > am
Feladat. Igazoljuk, hogy az
általános tagú sorozatot szigorúan monoton csökken!
(Útmutatás: használjuk fel, hogy a sin függvény a (0,π/2) intervallumon szigorúan monoton nő.)
Világos:
ezért reciprokot véve
és mivel a sin függvény a (-π/2;+π/2) intervallumon szigorúan monoton növekszik, ezért a fenti egyenlőtlenséget megtartja:
Tétel – a konvergencia monoton korlátossággal megfogalmazott elégséges feltétele – Monoton, korlátos sorozat konvergens.
Megjegyzés. A konvergencia lokalitásából következik, hogy a tétel állítása olyan korlátos sorozatokra is érvényes, melyek csak egy indextől kezdve monotonak.
Bizonyítás. Legyen (an) monoton, korlátos valós számsorozat. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy az (an) monoton növekvő. Világos, hogy a sorozat szuprémuma véges. Belátjuk, hogy a sorozat konvergál a sup(an) számhoz.
Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor a szuprémum egyenlőtlenségekkel történő jellemzése alapján sup(an)–ε már nem felső korlátja (an)-nek, így létezik N természetes szám, hogy
Mivel (an) monoton növekvő, ezért minden n > N természetes számra
így minden n > N-re
ami azt jelenti, hogy az N+1 indextől kezdve a sorozat minden tagja benne van a sup(an) szám ε sugarú környezetében.
Az Euler-féle példa
Az
általános tagú sorozat konvergens, mert igazolható módon monoton és korlátos.
Feladat. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
(Útmutatás: osszuk le a számlálót is és a nevezőt is n-nel és alkalmazzuk mindkettőre az alkalmas nevezetes határértéket.)