Matematika A1a 2008/11. gyakorlat
Tartalomjegyzék
|
Határozott integrál
Az egyváltozós analízis történetileg kialakult két jellegzetes témaköre közül az egyik az érintőproléma (lényegében a differenciálelmélet) a másik a területszámítás problémája, vagy régies elnevezéssel a kvadratúra-feldat (ami lényegében az integrálelmélet). Most a kvadratúra, azaz a függvénygörbe alatti terület definícióját adjuk meg. Ehhez azonban néhény segédfogalmat kell megismernünk.
Az [a,b] korlátos és zárt intervallum egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely az [a,b]-t unióként előállító, egymásba nem nyúló intervallumokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan
függvényt, melyre:
- n olyan véges természetes szám, hogy x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b és
- minden J ∈ Dom(η) esetén .
Az [a,b] összes Riemann-felosztásai halmazát RF[a,b] jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes részintervallum hossza kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, azt RFδ[a,b] jelöli, azt a halmazt az [a,b] összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.
Egy f, az [a,b]-n értelmezett függvény egy Riemann-közelítő összegén a
ahol η a fenti jelölésekkel az [a,b] egy Riemann-felosztása.
Ekkor már definiálhatjuk az integrálhatóságot:
Definíció. Legyen f:[a,b] Regy zárt és korlátos intervallumon értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az I valós szám, ha
Belátható, hogy ha f integrálható, akkor I egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az
- , vagy az
szimbólum szolgál.
Az [a,b] intervallumon Riemann-integrálható függvények halmazát R[a,b] jelöli.
Az integrál lényegében a függvénygörbe alatti terület. Integrálható függvény esetén létezik ez a terület, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül I-hez.
Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden részintervallumán is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk). Minhogy az integrál egy szám, integrálható f esetén értelmes ha definiáljuk a következő, úgy nevezett integrálfüggvényt (vagy a-ban eltűnő integrálfüggvényt):
Definíció szerinti példák
1. Példa. Jóformán az egyetlen függvény, aminek az integrálhatóságát a definíció alapján könnyen igazolni tudjuk, az a konstans függvény. Az f(x) = c esetén a kiválaszott pontok mindig c függvényértékűek, és az összes közelítő összeg mindig
azaz
Már ezzel is azonban fel tudunk írni egy integrálfüggvényt: f:[a,b] R, f ≡ c esetén:
2. Példa. Nem minden függvény integrálható.
2. a. Zárjuk le a reciprok függvényt egy ponttal:
(Riemann az 1854-es habilitációs dolgozatában definiálta és vizsgálta a most Riemann-integrálhatóságnak nevezett fogalmaz, mindazonáltal az integrál első, a szigorúság követelményének eleget tévő definícióját Cauchy adta (1821) az intuitívet pedig Leibniz.) Ez a függvény nem integrálható, mert akármilyen fimon intervallumfelosztás esetén, ha az első intervallumot δ hosszúra választjuk, definiálható egy η([x0,x1]) < δ2 érték, azaz f(η([x0,x1])) > 1/ δ2. Ekkor viszont az első téglalap területe 1/δ lesz, ami δ \to 0 esetén a +∞-be tart, azaz az összterület nem lesz véges.
2. b. Legyen f a Dirichlet-függvény:
ahol Q a racionális számok halmaza, R / Q pedig nyilván az irracionális. Ez a függvény nem Riemann-integrálható, bár korlátos, mert akármilyen finom intervallum-felbontás esetén van egy olyan Riemann-kiválasztó függvény, mely mindig racionális pontokat választ ki és ezáltal a közelítő összeg mindig 1 és olyan, mely mindig irracionálist, azaz ezzel a közelítő összeg 0. Mindig lesz tehát két olyan felbontás, mely összegek különbsége legalább 1.
A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele
Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezeéhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban az egyváltozós analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.
Tétel. Legyen f: [a,b] R korlátos és zárt intervallumon értelmezett függvény. f pontosan akkor integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz
Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy H ⊆ R halmazt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan (In) intervallumsorozat, hogy ennek összhossza < ε és lefedi H-t.
Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.
Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad, azaz discon(Dir)=[0,1], melynek a mértéke 1.
Példa. Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. A konstrukció e következő. Először definiáljuk az ördög lépcsője függvényt:
A [0,1] intervallumot osszuk 3 részre és vegyük ki a belső nyílt harmadot. Ezen a szakaszon legyen a függvény értéke 1/2. Ismételjük a megmaradt két zárt intervallumra, és az érték legyen ott 1/4 ill. 3/4. A fennmaradt részeket is osszuk, majd a középső harmad értéke mindig a két szélső közepe legyen... Ha csak a belső harmadokat vesszük, akkor ami megmarad a halmazból, az az úgy nevezett Cantor-halmaz. A Cantor-halmaz kontinuum számosságúan végtelen, de Lebesgue-nullmértékű -- ezt a két dolgot persze nem bizonyítjuk. A függvény mindenhol folytonos, a m.m- deriválható és a deriváltja 0 (de nem intervallumon értelmezett: Dom = [0,1]\C). Ha most vesszük a deriváltfüggvényét és kiterjesztjük a C pontjaiban úgy, hogy ott 1 legyen az értéke, akkor ez egy kontinuum számosságú, de Lebesgue-nullmértékű halmazon szakadó, korlátos függvény, azaz integrálható. És az integrálja 0. Ebből is látható, hogy a fenti ekvivalenciatétel csodálatosan oldja meg, hogy bár a Riemann-felosztás véges, kontinuum számosságú, L-0-m. résszel is el tud bánni.
A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma
Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.
-
- csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
-
- (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt
-
- monoton függvény R-integrálható (minden feltétel nélkül), amiatt a nem említett tétel miatt, hogy intervallumon értelmezett, monoton függvénynek csak megszámlálható szakadási pontja van, korlátos és zárt intervallumon pedig egy ilyen függvény korlátos.
Feladat. Intergálhatóak-e az alábbi függvények és ha igen, mi az integráljuk?
1.
Igen, mert folytonos (illetve legfeljebb csak 1 ponton szakad, miközben korlátos). Ezen kívül páratlan: |-x|sin(1/-x) = -|x|sin(1/x), emiatt az origóra szimmetrikus intervallumon az integrálja:
2.
Igen, mert monoton. Az integrálját elegendő egyetlen végtelenül finomodó felosztássorozathoz tartozó közelítő összegsorozat határértékeként számolni, hiszen ha ez nem konvergálna, akkor nem teljesülne a definícióban megkövetelt határérték létezése. Az intervallumot 2m részre osztjuk fel. Ekkor az összeg:
Ennek a határértéke a mértani sor összegképlete miatt:
3.
Megszámlálható sok szakadása van ugyan a függvénynek, de nem korlátosan a szakadások, így a függvény nem integrálható:
Az határozott integrál néhány tulajdonsága
A következőkben feltesszük, hogy az f és g a formulákban szereplő intervallumokat tartalmazó valamely intervallumon Riemann-integrálható.
- Intervallum szerinti additivitás:
- Integrandus szerinti additivitás:
- Integrandus szerinti monotonitás.
- Integrandus szerinti homogenitás:
- Abszolút becslés.
- Triviális alsó és felső becslés.
- Eltolásinvariancia.
Az integrálfüggvény néhány tulajdonsága
Az integrálfüggvény viselkedését vizsgálva meglepő következtetésre juthatunk.
Példa. Vegyük az alábbi lépcsős függvényt:
írjuk fel az integrálfüggvényét tudva-tudván, hogy az nem más mint a területfüggvény:
Ábrázolva, azt kapjuk, hogy T képe egy törött vonal, folytonos és mindehol, ahol nem törik, a deriváltja az integrandus. T diff.-ható a [0,1)U(1,2] halmazon és
Az integrálfüggvény differenciálhatóságáról
Az integrandus folytonossági helyein az integrálfüggvény valóban differenciálható. Az alábbi tételt az analízis első alaptételének szokás nevezni.
Tétel. -- A kalkulus fundamentális tétele I. -- Legyen f:[a,b] R integrálható. Ha f folytonos az u ∈ [a,b] pontban, akkor ∫ f differenciálható u-ban és
Bizonyítás. f folytonos u-ban, ezért tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan δ > 0, hogy f|B(δ,u) ⊆ Bε(f(u)), azaz:
Írjuk fel a deriváltra a különbségi hányadost! Legyen x,y olyan, hogy az u δ sugarú környezetébe esik. Ekkor az integrál intervallum szerinti additivitása miatt:
Ha most a tirviális alsó és felső becslést vesszük:
s mivel ε tetszőleges volt, ezért f(u) nem más, mint az integrálfüggvény u-beli különbségi háényadosának határértéke (az x=u helyettesítéssel). QED
Látható, hogy a bizonyításban többet láttunk be. Egyfajta u körüli "egyenletes differenciálatóságot", az úgy nevezett erős differenciálhatóságot. Ez azért lehet fontos, mert ha az integrálfüggény deriváltja nem nulla, akkor nem csak ő, de az inverze is Lipschitz-folytonos, amiből pedig az következik, hogy mind az i.f. mind az inverze nullmértékű halmazt nullmértékűbe képez.
Az integrálfüggvény Lipschitz-tulajdonsága
És persze az integrálfüggvény "nagyon" folytonos, egészen pontosan Lipschitz-tuljadonságú vagy más névven Lipschitz-folytonos, azaz
- létezik olyan L nemnegatív szám, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re
azaz létezik olyan L, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re
Ugyanis a triviális felső becslésből:
ahol L-nek alkalmas a sup |f| szám.
A Lipschitz-tulajdonság és folytonosság kapcsolatáról lásd még [itt].
Primitívfüggvények
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f:[a,b] R függvénynek primitív függvénye az F:[a,b] R differenciálható függvény, ha F' = f.
Világos, hogy ha F primitív függvénye f-nek, akkor akármilyen konstans C-vel F + C is primitív függvénye f-nek, hisz (F + C)'= F' = f. Ennél több is igaz. Ha f-nek primitívfüggvénye F, akkor f összes primitívfüggvénye F + C alakú, ahol C tetszőleges valós szám. Ez az alábbi fontos tétel közvetlen következménye:
Tétel. Ha az F:[a,b] R differenciálható függvény olyan, hogy F' ≡ 0, akkor létezik olyan C valós szám, hogy F ≡ C.
Bizonyítás. Egyszerűen a Lagrange-tételt kell alkalmazni F egy tetszőleges [a,x]-re történő leszűkítésétre:
azaz
QED
Ha tehát egyáltalán van f-nek van primitív függvénye és F ilyen, akkor ezek halmaza:
Talán fellengzősség, de a fenti tételt néha az integrálszámítás alaptételének nevezik. Ennek egy kiterjesztett formája azonban tényleg méltó erre a névre:
Tétel. Ha az F:[a,b] R differenciálható függvény majdnem mindnehol differenciálható, ezekben a pontokban a derivált nulla és F Lipschitz-tulajdonságú, akkor F konstans.
Az alábbi tétel szerint, amit szintén joggal neveznek a kalkulus fundamentális tételének, ha egy integrálható függvénynek van primitív függénye, akkor az integrálfüggvények és primitívfüggvények halmaza egybeesik, sőt:
Tétel. Newton--Leibniz-formula Legyen f:[a,b] R integrálható és létezzen primitív függvénye. Ekkor f mindnen F primitív függvényére:
Ez a kalkulus második fundamentális tétele. Érdemes alaposan megvizsgálni a feltételeit, mert tanulságos példákra lelhetünk.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + létezik primitív függvénye + Dir + + + + + ********************************************************* + g' * h' + R-integrálható * + * + * + * ############### + * + * # folytonos # + * + * # # + * + * ############### + Ent|[0,2] * + * + * + * + * +++++++++++++++++*++++++++++++++++++++++++ * * * * * * * *********************************************************
A Dir Dirichlet-függvények nem létezik primitívfüggvénye, mert ha lenne olyan függvény, aminek ő a deriváltja lenne, akkor ő, mint deriváltfüggvény nem lenne Darboux-tulajdpnságú: két függvényértéke között nem mindent venne fel. Azt is megéztük, hogy R-integrálja sincs. (Bár Lebesgue-integrálja 0.)
Az Ent egészrész függvény integrálható (egy korlátos és zárt intevallumon), mert monoton, de nincs primitív függvénye, mert derivált nem ugorhat.
Legyen g : [-1,1] R a következő:
Ekkor g differenciálható, így g'-nek g primitívfüggvénye, de tudjuk, hogy g'-nek nem korlátos másodfajú szakadésa van a 0-ban, így g' nem lehet integrálható.
Végül nézzünk példát olyan függvényre, mely nem folytonos, de értelmes rá a N--L-formula. Legyen h: [-1,1] R a következő:
Ekkor g differenciálható, így g'-nek g primitívfüggvénye, és tudjuk, hogy g' korlátos és csak a 0-ban van egyetlen szakadása, így g' integrálható.
Megjegyezük, hogy a görbe alatti területet nem véges összegekkel, hanem végtelen sorral közelítő Lebesgue-integrál olyan általános, hogy ilyen vagy még általánosabban definiált értelmeben nem integrálható függvényt keresni már komoly matematikai/halmazelméleti kihívást jelent.
A Newton--Leibniz-formula bizonyítása. Belátjuk, hogy a baloldal és a jobboldal abszolút eltérése minden pozitív számnál kisebb. Legyen ε > 0. Ekkor az integrálhatóság miatt létezik olyan δ > 0 szám, hogy minden η ∈ RFδ[a,b] Riamann-felosztásra
A bizonyítás trükkje az, hogy az F(b)-F(a) különbséget a közelító összegben lévő sok taggal, mint teleszkópikus összeggel tudjuk előállítani. Ugyanis a Lagrange-féle középértéktétel miatt egy tetszőlegesen rögzített η ∈ RFδ[a,b] felosztás minden részintervallumán létezik olyan ξi ∈ [xi-1,xi], hogy
Emiatt, ha azt az ξ felosztást választjuk, melynek osztópontjai az &eta osztópontjaival esenek egybe, de a részintervallumokból rendre a ξxi értékeket választja ki, akkor fennáll:
Itt az összeg tagjai úgy esnek össze, ahogy azt a teleszkópikus összegeknél láthatjuk. Végül
s mivel ε tetszőleges volt, ezért az egyenlőség fennáll. QED
Az ábrán van egy különlegesen fontos eset. Amikor az integrandus folytonos, akkor a fügvénynek biztosan létezik primitívfüggvénye. Ez annak a tételnek a duálisa, hogy folytonos függvény integrálható.
Tétel. f ∈ C[a,b], akkor f-nek (biztosan) létezik primitívfüggvénye.
Ugyanis ekkor az integrálfüggvény minden pontban differenciálható, azaz az integrálfüggény primitívfüggvénye f-nek.
Jelölés. Ha f folytonos, akkor indokolt a primitív függvények összességét a
alakban írni, ahol C tetszőleges szám.
Megjegyzés. Ha tehát az a kérdés, hogy melyek a primitív függvényei f-nek, akkor a válasz a fenti kifejezés, ahol a határozatlan integrált szimbolizáló tag általában egy konkrét függvény.
Primitívfüggvény-keresés
Primitívfüggvény-keresésnek két metódusa van. Az egyik a helyettesítéses integrálás, a másik a parciális integrálás. Ezek előtt azonban egy triviális módszer, a deriválási táblázat megfodítása és az integrál eltolásinvarianciájának felhasználása. (Esetleg a lineáris argumentumú alapintegrál kiszámítása.)
Alapintegrálra visszavezethető integrálok
Ha tehát vesszük az elemi függvények és inverzeinek deriválási táblázatát, akkor jobbról balra olvasva megkapjuk az alapintegrálok táblázatát.
Alapintegrálok kiszámítása táblázatból
vagy a legkönnyebben elronthatók:
Alapintegrálok és eltolásinvariancia
Az integrál eltolásinvarianciáját használva:
Lineáris agrumentumú integrandus
A lineáris agrumentumúkra vonatkozó képlet:
ahol F'=f. Hiszen az összetett függvény deriválási szabálya szerint:
Ezzel pl:
Megjegyzés. Érdemes fejünkbe vésni a sin függvény deriváltajainak függvénysorozatát:
- sin
- cos
- − sin
- − cos
- sin
- cos
felfejé haladva integrálunk, lefelé haladva deriválunk.
pl.
Polinom/lineáris alak
itt már érdemes polinomosztással eljárni:
(x^2 + 2) : (x - 1) = x + 1 - x^2 - x --------- x + 2 - x - 1 -------- 3
Néha x2 + 1 nevezőjűre is működik:
Linearizáló formulák
Ezek arra alkalmasak, hogy a sin2, cos2, sh2. ch2 függvényeket (illetve alkalmasan megváltoztatott argumentumú változatukat) ki lehessen integrálni:
Mindezek a következők miatt állnak fenn:
ezért ezeket kivonva ill. összeadva, majd 2-vel elosztva a felső kettőt kapjuk. A másik kettő:
Itt érdemes megjegyezni az Osborne-szabályt: ha egy trigonometrikus azonosságban kicseréljük a megfelelő hiperbolikus függvényekre az összetevőket és minden olyan tag előjelét megváltoztatjuk, melyek két sh szorzatából állnak (speciálisan a sh2-ek elé egy - jelet teszünk), akkor megkapjuk a hiperbolikus azonosságot. Lásd: Osborne-szabály.
Ezek főleg határozott integráloknál adnak "szép" eredményt
Példa.
Helyettesítéses integrálás
Az első keresési eljárás az összetett függvény deriválási szabályának megfordításán alapul.
Tétel. Legyen g:I J, F: J R folytonosan differenciálható függvények és f: J R pedig olyan, hogy az F' = f, akkor az x f(g(x)) g'(x)-nek is létezik primitív függvénye és
Bizonyítás. A primitív függvény létezését az garantálja, hogy az integrandus folytonos.
Elegendő ellenőrizni, hogy x F(g(x)) primitív függvénye x f(g(x)) g'(x)-nek, azaz az előbbi deriváltja az utóbbi:
QED.
...-alakú integrálok
Ebből a tételből származtathatjuk a "... alakú integrálokat":
Példák.
1. hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
2.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
3.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
4.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
Integrálás a helyettesítés elvégzésével
Megjegyzés. Intermezzóként megemlítjük, hogy a helyettesítés elnevezés abból fakad, hogy ekkor lényegében új ismeretlent vezetünk be. Persze az ezzel való számolás egy egészen más szemléletet igényel. A fő képlet ekkor:
ahol el kell végezni az
szimbolikus helyettesítést.
5. (exponenciális helyettesítés)
5. (gyökös helyettesítés)
6. (trigonometrikus helyettesítés)
Parciális integrálás
A helyettesításes integrálás a függvénykompozíció deriválására szolgáló képlet felhasználása volt primitívfüggvény keresésre. Most a szorzási szabályt fogjuk használni.
Tétel. Legyen f,g:[a,b] R folytonos és F,G:[a,b] R differenciálható olyan, hogy F' = f, G' = g. Ekkor az alábbi képletben szereplő összes integrandusnak létezik primitív függvénye és
Bizonyítás. Elég a bizonyítani, hogy a jobb oldal deriváltja a baloldali integrandus. Ehelyett egy kicsit másként csináljuk: belátjuk, hogy az FG függvény primitívfüggvénye az fG + Fg függvénynek, majd kefejezzük velőle a fenti formula baloldalát:
tehát
amiből már következik a fenti formula. QED.
Polinom szor exp, trig, hip
Az első alkalmazás az, amikor a egymás után parciális integrálásokkal polinommentes formulává alakítjuk az integrandust. Ekkor a fenti képlet F-je a polinom, amiből egyel alacsonyabb fokú polinomszoros integrandus keletkezik az ∫fG integrál esetén.
Hiszen
Egy hasonló:
Hiszen
Rekurziós integrálok, formulák
1.
az
szereposztással. A formulában visszatért a keresett integrál, így ezt kifejezve:
2.
amiből
tehát kétszeri parciális integrálással értük el.
3. Rekurziós formulát kapunk az alábbi In alakú integrálokra: az utolsó tagot parciálisan integráljuk ki:
azaz In kifejezhető In − 1-segítségével.
Inverzfüggvények integrálja
Az
trükk sokszor alkalmas arra, hogy az inverz függvények integrálját parciálisan kiintegráljuk, hiszen az inverz függvények deriváltjának képlete az utolsó tényezőt a kezünkre játssza. Speciálisan a módszer alkalmas az összes ln, arc és ar függvény kiintegrálására.
1.