Matematika A3a 2008/12. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
Típuspéldák
Egész kitevőjű hatványsorba fejtés
Fő eszköz: mértani sor:
Példa. Adjuk meg az alábbi függvény 1 körüli összes Laurent-sorát! Válasszuk ki ezek közül azt, mely előállítja a 0-t!
Megoldás. A függvénynek izolált szinguláris pontja a -i.
Az a = 1 körül a következő esetekben fejthetünk sorba, ha |z - (-i)| < |z - 1 |, ekkor Taylor-sort kapunk, és |z - (-i)| > |z - 1 |, amikor Laurent-sort. Az első esetben -(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen.
ahol n+2 = k -ra tértünk át. Ez a sor akkor lesz konvergens, ha a számítások során kialakított mértani sor kvociense, azaz |z-1|/|-1-i| < 1, ami a |z-1|<|-1-i|= tartománynak felel meg.
A másik esetben a (-1)/(z - 1) elsőfokú polinomjaként kell a nevezőt felírni, majd a konstans tagot kiemelni, hogy az 1 legyen. Ezt a legegyszerűbben úgy tehetjük, ha a (z-1) elyőfokú polinomjaként írjuk fel a nevezőt, majd (z-1)-et kiemelünk (amivel 1 marad ennek a tagnak a helyén).
Reziduum-számítás
Milyen típusú szingularitása van, mennyi a reziduuma a szingularitási helyen?
1.
Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A sorfejtése:
A Laurent-sor főrészében ∞ sok tag van, így a 0 lényeges izolált szingularitás és leolvasva: Res0 f = 9/2.
2.
Megoldás. 0-ban izolált szingularitása van. A cos sorfejtése:
A számláló sorfejtése:
A tört sorfejtése:
Tehát a 0-ban pólusszingularitás van, éspedig 1 elemű a főrész, ezért elsőfokú a reziduum: -2/3
Megjegyezzük, hogy f előáll g(z) / z alakban, ahol g(z) reguláris és g(0) nem nulla, mert:
számlálója regulárissá tehető a g(0)=-2/3 definícióval.
3. Csak a 0-ban!
Megoldás. Írjuk fel nemnulla reg / ? alakban:
Azt kell megvizsgálni, hogy a nevezőnek a 0 hanyszoros multiplicitású gyöke:
Tehát egyszeres, azaz f a következő alakú:
Vagyis f-nek a 0-ban elsőfokú pólusszingularitása van. A residuumot számolhatjuk a képlettel (elsőfokú pólus reziduuma):
mivel
Vagy számolhatjuk "ügyeskedéssel", ami furcsamód mindig célravezet, ha a nevező elemi függvény:
azaz Res = 1.
4.
Megoldás. 0 5-ödfokú pólus. A képelettel a Res:
Hiszen a deriválás alatti függvény egy a 0-ban regulárissa átehető függvény, melynek ílymódon a 4. deriváltja tekinthető a derivált határértékének.
Ügyeskedéssel:
Res = 1/(5!)
Cauchy-típusú integrálok
Eszköz:
Ha f reguláris, akkor minden az a-t a belsejében tartalmazó G egyszerű zárt görbére:
1. Számoljuk ki minden c ∈ Z-re az
integrált! Megoldás.
mert ekkor az integrandus reguláris függvény, így a Cauchy-féle integráltétel miatt integrálja 0:
ahol f(x) = sh(2x), a C-formulák miatt.
Integrálás véges sok szinguláris pontot körülhurkoló görbén
Eszköz: A szinguláris helyek körül külön-külön kis körökön integrálunk, melyekre az integrált a reziduumtétellel, vagy Cauchy-formulákkal számoljuk.
1.
Legyen
Mennyi a
integrál?
1. Megoldás. Kiszámítjuk a ∞-beli reziduumot. A ζ = 1/z helyettesítést alkalmazva fejtjük sorba a ζ=0 körül:
Ezt a 0-ban Taylor-sorba fejthetjük:
Visszatranszformálva:
azaz a f valóban reguláris az ∞-ben és reziduuma -1. Emiatt az integrál +2πi, ugyanis
így
2. Megoldás. Egyenkint, Cauchy-formulával.
Harmonikus társ keresése
Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény harmonikus, ha
itt Δ a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).
A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:
- és
De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:
azaz
- és fordítva.