Szerkesztő:Mozo/Linalg gyakorló 1.

Alterek

1. Igazolja, hogy ha W₁ és W₂ altér V-ben, akkor

$W_1\cap W_2$ altér

Ugyanis, ha u,v ∈ W₁∩W₂, akkor u,v ∈W₁ és u,v ∈ W₂, de ezek zártak az összeadásra és a számmal való szorzásra, ezért: u+v ∈ W₁ és u+v ∈ W₂,, azaz u+v ∈ W₁∩W₂ és λ.u ∈ W₁ és λ.u ∈ W₂, azaz λ.u∈ W₁∩W₂,.

2. Igazoljuk, hogy ha W₁ és W₂ altér V-ben és W₁∩W₂, ≠ {0}, akkor

$\dim \langle W_1,W_2 \rangle < \dim W_1 +\dim W_2$

Először belátjuk, hogy

$\dim \langle W_1,W_2 \rangle \leq \dim W_1 +\dim W_2$

ha B bázis W₁-ben és C bázis W₂-ben BUC generátorrendszere $\langle W_1,W_2 \rangle$-nek, de nem nagyobb a számossága, mint |B|+|C|

$\dim\langle W_1,W_2\leq |BUC|\leq |B|+|C|$

Most belátjuk, a szigorú egyenlőtlenséget. W₁∩W₂ altér mindkét altérben, ezért ha a metszet nem 0, akkor egy D ⊆ W₁∩W₂ bázis kiegészíthető W₁ bázisává és W₂ bázisává, tehát

$\dim \langle W_1,W_2 \rangle\leq|B'\cup D\cup C'|=|B'\cup D\cup D\cup C'|<|B'\cup D|+|D\cup C'|=\dim W_1 +\dim W_2$

hiszen D elemeit kétszer számoltuk.