Matematika A3a 2009/egzakt
Definíció
Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha P,Q: U R nyílt halmazon értelmezett függvények (Q sehol sem nulla) úgy, hogy létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Példa, elnevezés
Példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt (f,g folytonos, g sehol se nulla), hiszen ekkor a megoldásból:
olyan, hogy
Látható, hogy ekkor a megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet, ami általában is így lesz ( F(x,y) = C ) ezért előnyös az egzakt forma.
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletetről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a Q(x,y)dx + P(x,y)dy kifejezés teljes differenciál, azaz létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt mai jelölésekkel a következőképpen értelmezhetjük. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) függvény potenciálos. Ebből hasznos jellemzést kapunk a vektoranalízisbeli ismereteinkből.
Egzakt egyenlet jellemzése és megoldhatósága
Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények. A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha
Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet első integráljának nevezzük.
Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. Sokkal fontosabb azonban, hogy igazoljuk az egyenlet megoldhatóságát ebben az esetben.
Tétel. Legyen P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) és (x0,y0) ∈ U. Ekkor
- a Pdx + Qdy = 0 egyenletnek van a kezdeti feltételt egyértelműen kielégítő megoldása és
- az F(x,y) = C egyenlet (x0,y0)-n áthaladó implicit függvénye a Pdx + Qdy = 0 egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő megoldása.
Biz. 1) Egzisztencia.
így az implicit függvény tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pontban és ennek deriváltja:
Tehát létezik megoldása és y egy megoldása az egyenéletnek.
2) Unicitás. Ha létezik megoldása az egyenletnek, akkor a
egyenlet a grad F = (P,Q) miatt
de mivel
ezért az integrálszámítás alaptétele miatt F(x,y(x)) egy konstans függvény, azaz y(x) implicit függvénye az F(x,y)=0 egyenletnek. Ez ez utóbbi egyértelmű, ezért a megoldás is.
Megjegyzés. Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, de a fenti feltétel a megoládás létezésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilisé.