Matematika verseny/2011
== Matematika verseny 2011 ==
A 2011. évi BME Matematika versenyt 2011. április 14-én rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján].
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
Tartalomjegyzék |
1. feladat
Adott a,b,c,d oldalhosszúságú síkbeli négyszögek közül melyik lesz maximális területű? Az oldalak ebben a sorrendben csatlakoznak.
2. feladat
Melyek azok a tízes számrendszerben felírt természetes számok, melyek utolsó számjegyét az elejére áthelyezve az eredeti szám 2/3-át kapjuk?
3. feladat
Legyen A invertálható -es mátrix. Tegyük fel, hogy az A és A − 1 mátrixok minden el eme nemnegatív. Bizonyítsuk be, hogy van olyan k > 0 egész, hogy Ak diagonális mátrix.
4. feladat
5. feladat
a. Legyenek egységvektorok egy euklideszi térben, , ha . Mutassuk meg, hogy lineárisan függetlenek.
b. Lengyen m = (n − 1)n / 2 + 1, egységvektorok, , ha . Mutassuk meg, hogy közül kiválasztható n lineárisan független vektor.
6. feladat
Az irányított G egyszerű gráf irányított kromatikus száma, χi(G) az a legkisebb k, amelyre k színnel színezhetők a csúcsok úgy, hogy egy él két vége különböző színű és bármely adott színpárban csak az egyik irányba vezethet él. Mutassuk meg, hogy nincs olyan függvény, melyre teljesül minden G-re, ahol χ(G) a megfelelő irányítatlan gráf kromatikus száma. Azaz az irányított kromatikus szám nem becsülhető a kromatikus szám ismeretében.
A szerkesztő megjegyzése
A feladatot értsük úgy, hogy csak olyan G gráfokat tekintünk, amelyekben semelyik két csúcs között nincs oda-vissza él (így az irányított kromatikus szám mindig véges).
7. feladat
Mutassuk meg, hogy ha és minden x > 0-ra , akkor .
8. feladat
Legyen . Mutassuk meg, hogy az számok egy véletlen permutációjánál
a. 1 / k valószínűséggel lesznek az számok ugyanabban a ciklusban,
b. 1 / k! valószínűséggel lesznek az számok csupa különböző ciklusban.
A szerkesztő megjegyzése
A feladatra van olyan megoldás, ami az a. és b. részt is megoldja, de olyan megoldás is, ami csak az a. részt oldja meg.
9. feladat
Legyenek P,Q ortogonális projekciók egy véges dimenziós térben. Mutassuk meg, hogy
10. feladat
Legyen f(z) reguláris a Rez > 0 félsíkon. Tegyük fel, hogy
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges δ > 0 esetén