Matematikai előismeretek 7.
- Lásd még: Matematikai előismeretek
Mértani sorozat
- (a1, a2, a3, a4, ... )
mértani sorozat, ha van olyan q szám, hogy a sorozat tagjai:
alakúak. Ilyenkor q-t a mértani sorozat kvociensének nevezzük. Ha q nem nulla, akkor ezt azt is jelenti, hogy
Ha pedig q nulla, akkor nyilván
- a1 tetszőleges, a2 = a3 = ... = 0
Ha (an) mértani sorozat, akkor
nemnegatív tagokra:
, minden n-re, ha an − 1 is a sorozat tagja.
, minden n-re és k-ra, ha an − k is a sorozat tagja.
Egy nemnegatív sorozat pontosan akkor mértani sorozat, ha bármely egymás követő három tagja közül a második a számtani közepe az elsőnek és a harmadiknak.
Általában pedig pontosan akkor mértani, ha teljesül rá.
A sorozat első n tagjának összege, azaz Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an a következőképpen számítható ki:
Példák
1. Mértani sorozatot alkotnak-e az alábbi sorozatok? Ha igen, mi a kvóciensük és az első tagjuk? Ha nem, melyik három egymást követő tag hibádzik?
- a) 0,5; 1; 1,5
- b) 2, 4, 8, 16
- c) -2, 4, -8, 16, -32
- d)
,
,
,
- e)
,
,
- f)
,
,
, cos0
- g)
,
,
,
- h)
,
,
,
,
- i)
,
,
,
,
- j)
,
,
,
- k)
, log59,
,
2. Számítsuk ki az n-edik tagot és az első n tag összegét!
- a) a1 = 5, q = − 4, n = 3
- b) a2 = 6, q = 2, n = 5
- c) a3 = 6, q = − 3, n = 4
- d)
,
, n = 1
- e)
, q = 3, n = 3
- f)
,
, n = 4
3. Adjuk meg a b és c számok értékét úgy, hogy az sorozat
- a) periodikus,
- d) csupa pozitív értékű,
- c) szigorúan monoton növekvő,
- d) szigorúan monoton csökkenő (fogyó),
legyen.