Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 4.
Tartalomjegyzék |
Határozatlan esetek
1∞
1.
∞0
2.
Vegyes
3.
4.
Mo.
Egyfelől
- , ha
Másfelől ha
akkor
miközben
tehát nincs határértéke a -∞-ben.
5.
-
- (ch2 − sh2 = 1)
6.
7.
Differenciálhatóság
Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha
1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) R függvény és olyan m ∈ R szám, hogy:
- minden x ∈ Dom(f)-re
- f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
- ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.
Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)
2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:
Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.
A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:
ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.
Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke,
Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható u körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnű tag összegeként:
- , a lineáris és a nemlineáris
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.
L'Hospital-szabályok
Tétel -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: A R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ A ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és
Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra
és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt
Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.