Érettségi gyakorló 1./Megoldások
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Intervallumos halmazos) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Logaritmikus egyenlet) |
||
(egy szerkesztő 28 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
18. sor: | 18. sor: | ||
:<math>B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }3<x\} | :<math>B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }3<x\} | ||
</math> | </math> | ||
+ | Ami kell: | ||
+ | :<math>A\cap B</math> azaz ''A'' és ''B'' közös elemei, | ||
+ | :<math>B\setminus A</math> ''B''-ből kivéve ''A'' elemeit, | ||
+ | :<math>A\setminus B</math> ''A''-ból kivéve ''B'' elemeit, | ||
+ | :<math>A\cup B</math> azok az elemek, amik ''A'' ill. ''B'' közül legalább az egyikben benne vannak. | ||
+ | halmazokat! | ||
+ | |||
+ | |||
A: ----------------O O-------------------> | A: ----------------O O-------------------> | ||
-3 3 | -3 3 | ||
B: *-------------------> | B: *-------------------> | ||
2 | 2 | ||
− | A∩B: | + | A∩B: O-------------------> |
− | + | 3 | |
+ | B\A: *-* | ||
+ | 2 3 | ||
+ | A\B: -------------O | ||
+ | -3 | ||
+ | A∪B: --------------O *-------------------> | ||
+ | -3 2 | ||
+ | A grafikonokról a halmazok: | ||
+ | :<math>A\cap B=\{x\in\mathbf{R}\mid 3<x\}</math>, | ||
+ | :<math>B\setminus A=\{x\in\mathbf{R}\mid 2\leq x\leq 3\}</math>, | ||
+ | :<math>A\setminus B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\}</math> és | ||
+ | :<math>A\cup B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }2\leq x\}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
+ | |- bgcolor="#efefef" | ||
+ | ||[[Érettségi gyakorló 1.#Halmazműveletek|vissza]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | ===Intervallumos halmazos gyakorló=== | ||
+ | ==== Intervallumokkal végzett műveletek ==== | ||
+ | Legyen | ||
+ | :<math>A=\{x\in\mathbf{R}\mid x<3\}</math> | ||
+ | és | ||
+ | :<math>B=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\leq x\}</math> | ||
+ | Adja meg az | ||
+ | :a) <math>A\cap B</math>, | ||
+ | :b) <math>B\setminus A</math>, | ||
+ | :c) <math>A\setminus B</math> és | ||
+ | :d) <math>A\cup B</math>. | ||
+ | halmazokat! | ||
+ | |||
+ | MO.: Ami kell: | ||
+ | :<math>A\cap B</math> azaz ''A'' és ''B'' közös elemei, | ||
+ | :<math>B\setminus A</math> ''B''-ből kivéve ''A'' elemeit, | ||
+ | :<math>A\setminus B</math> ''A''-ból kivéve ''B'' elemeit, | ||
+ | :<math>A\cup B</math> azok az elemek, amik ''A'' ill. ''B'' közül legalább az egyikben benne vannak. | ||
+ | halmazokat! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | A: ----------------O | ||
+ | 3 | ||
+ | B: *-------------------> | ||
+ | -1 | ||
+ | A∩B: *----------O | ||
+ | -1 3 | ||
+ | A\B: ------O | ||
+ | -1 | ||
+ | B\A: *-------------------> | ||
+ | 3 | ||
+ | A∪B: ---------------------------------------> | ||
+ | |||
+ | A grafikonokról a halmazok: | ||
+ | :<math>A\cap B=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\leq x<3\}</math>, | ||
+ | :<math>B\setminus A=\{x\in\mathbf{R}\mid 3\leq x\}</math>, | ||
+ | :<math>A\setminus B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-1\}</math> és | ||
+ | :<math>A\cup B=\mathbf{R}</math>. | ||
+ | |||
+ | ==== Logaritmusos függvény értelmezési tartománya ==== | ||
+ | Mi az | ||
+ | :<math>\mathrm{log}_5(x^2+4x+3)\,</math> | ||
+ | kifejezés értelmezési tartománya? | ||
+ | |||
+ | MO.: | ||
+ | Logaritmus mellett csak pozitív szám állhat: | ||
+ | :<math>x^2+4x+3>0\,</math> | ||
+ | ez egy felfelé nyitott parabola és két zérushelye: | ||
+ | :<math>x^2+4x+3=0\;</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot 1\cdot 3 }}{2}=\dfrac{-4\pm 2}{2}=\qquad -1,\qquad -3</math> | ||
+ | Akkor pozitív a függvényérték, ha <math>x<-3</math> vagy <math>-1<x</math>: | ||
+ | ----------------O O--------------------> | ||
+ | -3 -1 | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
+ | |- bgcolor="#efefef" | ||
+ | ||[[Érettségi gyakorló 1.#Halmazműveletek|vissza]] | ||
+ | |} | ||
+ | ===Exponenciális egyenlet=== | ||
+ | Oldja meg az | ||
+ | :<math>3^{2x+1}+8\cdot 3^{x-1}-\dfrac{1}{3}=0\;</math> | ||
+ | egyenletet a valós számok halmazán! | ||
+ | |||
+ | MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni: | ||
+ | :<math>3^{2x}\cdot 3^1+8\cdot 3^{x}\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0\;</math> | ||
+ | 3-mal beszorozva, hogy ne kelljen törtekkel számolni: | ||
+ | :<math>9\cdot 3^{2x}+8\cdot 3^{x}-1=0\;</math> | ||
+ | Itt felismerhetjünk, hogy | ||
+ | :<math>3^{2x}=\left(3^x\right)^2\,</math> | ||
+ | Bevezetve az | ||
+ | :<math>a=3^x\,</math> | ||
+ | új ismeretlent: | ||
+ | :<math>9\cdot a^{2}+8\cdot a-1=0\;</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | a_{1,2}=\dfrac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot 9\cdot (-1) }}{18}=\dfrac{-8\pm 10}{18}=\qquad \dfrac{1}{9},\qquad -1</math> | ||
+ | Innen az új ismeretlent definiáló egynletbe visszahelyettesítve, egyfelől: | ||
+ | :<math>-1=3^x\,</math> | ||
+ | ami lehetetlen, továbbá: | ||
+ | :<math>\dfrac{1}{9}=3^x\,</math> | ||
+ | :<math>3^{-2}=3^x\,</math> | ||
+ | exp. sz. m. | ||
+ | :<math>-2=x\,</math> | ||
+ | |||
+ | ===Exponenciális egyenlet gyakorló=== | ||
+ | Oldja meg az | ||
+ | :<math>4^{x+\frac{1}{2}}+4^{x-1}=\dfrac{9}{4}\;</math> | ||
+ | egyenletet a valós számok halmazán! | ||
+ | |||
+ | MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni: | ||
+ | :<math>4^{x}\cdot 4^{\frac{1}{2}}+4^{x}\cdot4^{-1}=\dfrac{9}{4}\;</math> | ||
+ | mivel <math>4^{\frac{1}{2}}=2</math> ezért kiemelve <math>4^{x}</math>-t | ||
+ | :<math>4^{x}\left(2+\frac{1}{4}\right)=\dfrac{9}{4}\;</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>4^{x}\cdot \dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}\;</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>4^{x}=1\;</math> | ||
+ | bármely szám nulladik hatvány 1, | ||
+ | :<math>4^{x}=4^{0}\,</math> | ||
+ | exp. sz. m. | ||
+ | :<math>x=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
+ | |- bgcolor="#efefef" | ||
+ | ||[[Érettségi gyakorló 1.#Exponenciális egyenlet|vissza]] | ||
+ | |} | ||
+ | ===Logaritmikus egyenlet=== | ||
+ | Oldja meg a | ||
+ | :<math>2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;</math> | ||
+ | egyenletet a valós számok halmazán! | ||
+ | |||
+ | MO.: Kikötések: | ||
+ | :<math>x+4>0\;</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>x>-4\;</math> | ||
+ | és | ||
+ | :<math>5x+12>0\;</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>x>-\dfrac{12}{5}=-2,4\;</math> | ||
+ | Számegyenesen ábrázolva: | ||
+ | O----------------------------------------> | ||
+ | -4 | ||
+ | O--------------------------> | ||
+ | -2,4 | ||
+ | A közös rész: | ||
+ | O--------------------------> | ||
+ | -2,4 | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>x>-\dfrac{12}{5}=-2,4\;</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;</math> | ||
+ | a 2-t bevihetjük a logaritmus mellett álló kifejezés kitevőjébe az alábbi azonosság alapján: | ||
+ | :{| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
+ | |- | ||
+ | ||<math>n\cdot \mathrm{log}_a x=\mathrm{log}_a x^n</math> | ||
+ | |} | ||
+ | (ahol <math>x>0</math>, <math>a>0</math>, ''a''≠1). Tehát: | ||
+ | :<math>\mathrm{log}_3(x+4)^2=\mathrm{log}_3(5x+12)\;</math> | ||
+ | hivatkozva szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus: | ||
+ | :<math>(x+4)^2=5x+12\;</math> | ||
+ | :<math>x^2+8x+16=5x+12\;</math> | ||
+ | :<math>x^2+3x+4=0\;</math> | ||
+ | aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján: | ||
+ | :-3 és -1 | ||
+ | A -1 megoldás, mert behelyettesítve az eredeti egyenletbe: | ||
+ | :<math>2\cdot\mathrm{log}_3(-1+4)=2\cdot\mathrm{log}_3 3 =2\;</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{log}_3(-5+12)=\mathrm{log}_3 9=2\,</math> | ||
+ | De a -3 nem megoldás, mert ekkor a jobb oldal nincs értelmezve | ||
+ | :<math>\mathrm{log}_3((-3)5+12)=\mathrm{log}_3 (-3)\,</math> | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
+ | |- bgcolor="#efefef" | ||
+ | ||[[Érettségi gyakorló 1.#Logaritmikus egyenlet|vissza]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | ===Logaritmikus egyenlet gyakorló=== | ||
+ | Oldja meg az | ||
+ | :<math>\mathrm{lg}(x+2)+\mathrm{lg}(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;</math> | ||
+ | egyenletet a valós számok halmazán! | ||
+ | MO.: Kikötések: | ||
+ | :<math>x+2>0\;</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>x>-2\;</math> | ||
+ | és | ||
+ | :<math>x+1>0\;</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>x>-1\;</math> | ||
+ | Számegyenesen ábrázolva: | ||
+ | O----------------------------------------> | ||
+ | -2 | ||
+ | O--------------------------> | ||
+ | -1 | ||
+ | A közös rész: | ||
+ | O--------------------------> | ||
+ | -1 | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>x>-1\;</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{lg}(x+2)+\mathrm{lg}(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;</math> | ||
+ | a két tízes alapú logaritmust egyesíthetjük az alábbi azonosság alapján: | ||
+ | :<math>\,\mathrm{log}_a x+\mathrm{log}_a y=\mathrm{log}_a (xy)</math> (ahol <math>x,y>0</math>, <math>a>0</math>, ''a''≠1) | ||
+ | tehát: | ||
+ | :<math>\mathrm{lg}(x+2)(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;</math> | ||
+ | hivatkozva a szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus: | ||
+ | :<math>(x+2)(x+1)= 20\;</math> | ||
+ | :<math>x^2+3x+2=20\;</math> | ||
+ | :<math>x^2+3x-18=0\;</math> | ||
+ | aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján: | ||
+ | :-6 és 3 | ||
+ | amelyek közül a -6 nem felel meg az <math>x>-1</math> kikötésnek, de a 3 megoldás, mert: | ||
+ | :<math>\mathrm{lg}(3+2)+\mathrm{lg}(3+1)=\mathrm{lg}\,5+\mathrm{lg}\,4=\mathrm{lg}\, 5\cdot 4 =\mathrm{lg}\, 20\;</math> | ||
{| class="wikitable" style="text-align:center" | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
|- bgcolor="#efefef" | |- bgcolor="#efefef" | ||
− | ||[[Érettségi gyakorló 1.# | + | ||[[Érettségi gyakorló 1.#Logaritmikus egyenlet|vissza]] |
|} | |} |
A lap jelenlegi, 2017. április 1., 07:12-kori változata
Tartalomjegyzék |
Intervallumos halmazos
Legyen
és a
kifejezés értelmezési tartománya. Adja meg az
- a) ,
- b) ,
- c) és
- d) .
halmazokat!
MO.: A
kifejezéssel kapcsolatban tudjuk, logaritmus mellett csak pozitív szám állhat, ezért
x2 − 9 képe egy fölfelé nyitott parabola, gyökökkel, ezért ez a kifejezés x < − 3 ill. 3 < x esetekben pozitív:
Ami kell:
- azaz A és B közös elemei,
- B-ből kivéve A elemeit,
- A-ból kivéve B elemeit,
- azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.
halmazokat!
A: ----------------O O-------------------> -3 3 B: *-------------------> 2 A∩B: O-------------------> 3 B\A: *-* 2 3 A\B: -------------O -3 A∪B: --------------O *-------------------> -3 2
A grafikonokról a halmazok:
- ,
- ,
- és
- .
vissza |
Intervallumos halmazos gyakorló
Intervallumokkal végzett műveletek
Legyen
és
Adja meg az
- a) ,
- b) ,
- c) és
- d) .
halmazokat!
MO.: Ami kell:
- azaz A és B közös elemei,
- B-ből kivéve A elemeit,
- A-ból kivéve B elemeit,
- azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.
halmazokat!
A: ----------------O 3 B: *-------------------> -1 A∩B: *----------O -1 3 A\B: ------O -1 B\A: *-------------------> 3 A∪B: --------------------------------------->
A grafikonokról a halmazok:
- ,
- ,
- és
- .
Logaritmusos függvény értelmezési tartománya
Mi az
kifejezés értelmezési tartománya?
MO.: Logaritmus mellett csak pozitív szám állhat:
ez egy felfelé nyitott parabola és két zérushelye:
Akkor pozitív a függvényérték, ha x < − 3 vagy − 1 < x:
----------------O O--------------------> -3 -1
vissza |
Exponenciális egyenlet
Oldja meg az
egyenletet a valós számok halmazán!
MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:
3-mal beszorozva, hogy ne kelljen törtekkel számolni:
Itt felismerhetjünk, hogy
Bevezetve az
új ismeretlent:
Innen az új ismeretlent definiáló egynletbe visszahelyettesítve, egyfelől:
ami lehetetlen, továbbá:
exp. sz. m.
Exponenciális egyenlet gyakorló
Oldja meg az
egyenletet a valós számok halmazán!
MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:
mivel ezért kiemelve 4x-t
azaz
azaz
bármely szám nulladik hatvány 1,
exp. sz. m.
vissza |
Logaritmikus egyenlet
Oldja meg a
egyenletet a valós számok halmazán!
MO.: Kikötések:
azaz
és
azaz
Számegyenesen ábrázolva:
O----------------------------------------> -4 O--------------------------> -2,4
A közös rész:
O--------------------------> -2,4
azaz
a 2-t bevihetjük a logaritmus mellett álló kifejezés kitevőjébe az alábbi azonosság alapján:
(ahol x > 0, a > 0, a≠1). Tehát:
hivatkozva szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:
aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:
- -3 és -1
A -1 megoldás, mert behelyettesítve az eredeti egyenletbe:
De a -3 nem megoldás, mert ekkor a jobb oldal nincs értelmezve
vissza |
Logaritmikus egyenlet gyakorló
Oldja meg az
egyenletet a valós számok halmazán!
MO.: Kikötések:
azaz
és
azaz
Számegyenesen ábrázolva:
O----------------------------------------> -2 O--------------------------> -1
A közös rész:
O--------------------------> -1
azaz
a két tízes alapú logaritmust egyesíthetjük az alábbi azonosság alapján:
- (ahol x,y > 0, a > 0, a≠1)
tehát:
hivatkozva a szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:
aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:
- -6 és 3
amelyek közül a -6 nem felel meg az x > − 1 kikötésnek, de a 3 megoldás, mert:
vissza |