Érettségi gyakorló 1./Megoldások

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Intervallumos halmazos gyakorló)
(Intervallumos halmazos gyakorló)
52. sor: 52. sor:
  
 
===Intervallumos halmazos gyakorló===
 
===Intervallumos halmazos gyakorló===
Legyen  
+
I. Legyen  
 
:<math>A=\{x\in\mathbf{R}\mid x<3\}</math>
 
:<math>A=\{x\in\mathbf{R}\mid x<3\}</math>
 
és  
 
és  
89. sor: 89. sor:
 
:<math>A\cup B=\mathbf{R}</math>.
 
:<math>A\cup B=\mathbf{R}</math>.
  
 +
II. Logaritmusos függvény értelmezési tartománya:
  
 +
Mi az
 +
:<math>\mathrm{log}_5(x^2+4x+3)\,</math>
 +
kifejezés értelmezési tartománya?
 +
 +
MO.:
 +
Logaritmus mellett csak pozitív szám állhat:
 +
:<math>x^2+4x+3>0\,</math>
 +
ez egy felfelé nyitott parabola és két zérushelye:
 +
:<math>x^2+4x+3=0\;</math>
 +
:<math>
 +
x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot 1\cdot 3 }}{2}=\dfrac{-4\pm 2}{2}=\qquad -1,\qquad -3</math>
 +
Akkor pozitív a függvényérték, ha <math>x<-3</math> vagy <math>-1<x</math>:
 +
----------------O              O-------------------->   
 +
                -3            -1
  
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"

A lap 2017. március 31., 20:40-kori változata

Intervallumos halmazos

Legyen

A=\{x\in\mathbf{R}\mid 2\leq x\}

és B\; a

\mathrm{log}_2(x^2-9)\;

kifejezés értelmezési tartománya. Adja meg az

a) A\cap B,
b) B\setminus A,
c) A\setminus B és
d) A\cup B.

halmazokat!

MO.: A

\mathrm{log}_2(x^2-9)\;

kifejezéssel kapcsolatban tudjuk, logaritmus mellett csak pozitív szám állhat, ezért

x^2-9>0\;

x2 − 9 képe egy fölfelé nyitott parabola, x=\pm 3 gyökökkel, ezért ez a kifejezés x < − 3 ill. 3 < x esetekben pozitív:

B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }3<x\}

Ami kell:

A\cap B azaz A és B közös elemei,
B\setminus A B-ből kivéve A elemeit,
A\setminus B A-ból kivéve B elemeit,
A\cup B azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.

halmazokat!


A:      ----------------O             O------------------->
                       -3             3    
B:                                  *------------------->
                                    2
A∩B:                                  O------------------->
                                      3
B\A:                                *-*
                                    2 3
A\B:       -------------O
                       -3
A∪B:      --------------O           *------------------->
                       -3           2

A grafikonokról a halmazok:

A\cap B=\{x\in\mathbf{R}\mid 3<x\},
B\setminus A=\{x\in\mathbf{R}\mid 2\leq x\leq 3\},
A\setminus B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\} és
A\cup B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }2\leq x\}.


vissza

Intervallumos halmazos gyakorló

I. Legyen

A=\{x\in\mathbf{R}\mid x<3\}

és

B=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\leq x\}

Adja meg az

a) A\cap B,
b) B\setminus A,
c) A\setminus B és
d) A\cup B.

halmazokat!

MO.: Ami kell:

A\cap B azaz A és B közös elemei,
B\setminus A B-ből kivéve A elemeit,
A\setminus B A-ból kivéve B elemeit,
A\cup B azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.

halmazokat!


A:      ----------------O    
                        3 
B:           *------------------->
            -1
A∩B:         *----------O 
            -1          3
A\B:   ------O
            -1
B\A:                    *------------------->
                        3
A∪B:    --------------------------------------->
             

A grafikonokról a halmazok:

A\cap B=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\leq x<3\},
B\setminus A=\{x\in\mathbf{R}\mid 3\leq x\},
A\setminus B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-1\} és
A\cup B=\mathbf{R}.

II. Logaritmusos függvény értelmezési tartománya:

Mi az

\mathrm{log}_5(x^2+4x+3)\,

kifejezés értelmezési tartománya?

MO.: Logaritmus mellett csak pozitív szám állhat:

x^2+4x+3>0\,

ez egy felfelé nyitott parabola és két zérushelye:

x^2+4x+3=0\;

x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot 1\cdot 3 }}{2}=\dfrac{-4\pm 2}{2}=\qquad -1,\qquad -3

Akkor pozitív a függvényérték, ha x < − 3 vagy − 1 < x:

----------------O              O-------------------->    
               -3             -1 
vissza
Személyes eszközök