Érettségi gyakorló 1./Megoldások
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Exponenciális egyenlet gyakorló) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Logaritmikus egyenlet) |
||
192. sor: | 192. sor: | ||
aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján: | aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján: | ||
:-3 és -1 | :-3 és -1 | ||
+ | A -1 megoldás, mert a behelyettesítve az eredeti egyenletbe: | ||
+ | :<math>2\cdot\mathrm{log}_3(-1+4)=2\cdot\mathrm{log}_3 3 =2\;</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{log}_3(-5+12)=\mathrm{log}_3 9=2</math> | ||
+ | De a -3 nem megoldás, mert ekkor a jobb oldal nincs értlmezve | ||
+ | :<math>\mathrm{log}_3((-3)5+12)=\mathrm{log}_3 -3</math> |
A lap 2017. március 31., 22:45-kori változata
Tartalomjegyzék |
Intervallumos halmazos
Legyen
és a
kifejezés értelmezési tartománya. Adja meg az
- a) ,
- b) ,
- c) és
- d) .
halmazokat!
MO.: A
kifejezéssel kapcsolatban tudjuk, logaritmus mellett csak pozitív szám állhat, ezért
x2 − 9 képe egy fölfelé nyitott parabola, gyökökkel, ezért ez a kifejezés x < − 3 ill. 3 < x esetekben pozitív:
Ami kell:
- azaz A és B közös elemei,
- B-ből kivéve A elemeit,
- A-ból kivéve B elemeit,
- azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.
halmazokat!
A: ----------------O O-------------------> -3 3 B: *-------------------> 2 A∩B: O-------------------> 3 B\A: *-* 2 3 A\B: -------------O -3 A∪B: --------------O *-------------------> -3 2
A grafikonokról a halmazok:
- ,
- ,
- és
- .
vissza |
Intervallumos halmazos gyakorló
Intervallumokkal végzett műveletek
Legyen
és
Adja meg az
- a) ,
- b) ,
- c) és
- d) .
halmazokat!
MO.: Ami kell:
- azaz A és B közös elemei,
- B-ből kivéve A elemeit,
- A-ból kivéve B elemeit,
- azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.
halmazokat!
A: ----------------O 3 B: *-------------------> -1 A∩B: *----------O -1 3 A\B: ------O -1 B\A: *-------------------> 3 A∪B: --------------------------------------->
A grafikonokról a halmazok:
- ,
- ,
- és
- .
Logaritmusos függvény értelmezési tartománya
Mi az
kifejezés értelmezési tartománya?
MO.: Logaritmus mellett csak pozitív szám állhat:
ez egy felfelé nyitott parabola és két zérushelye:
Akkor pozitív a függvényérték, ha x < − 3 vagy − 1 < x:
----------------O O--------------------> -3 -1
vissza |
Exponenciális egyenlet
Oldja meg az
egyenletet a valós számok halmazán!
MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:
3-mal beszorozva, hogy ne kelljen törtekkel számolni:
Itt felismerhetjünk, hogy
Bevezetve az
új ismeretlent:
Innen az új ismeretlent definiáló egynletbe visszahelyettesítve, egyfelől:
ami lehetetlen, továbbá:
exp. sz. m.
Exponenciális egyenlet gyakorló
Oldja meg az
egyenletet a valós számok halmazán!
MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:
mivel ezért kiemelve 4x-t
azaz
azaz
bármely szám nulladik hatvány 1,
exp. sz. m.
vissza |
Logaritmikus egyenlet
Oldja meg a
egyenletet a valós számok halmazán!
MO.: Kikötések:
azaz
és
azaz
Számegyenesen ábrázolva:
O----------------------------------------> -4 O--------------------------> -2,4
A közös rész:
O--------------------------> -2,4
azaz
a 2-t bevihetjük a logaritmus mellett álló kifejezés kitevőjébe:
hivatkozva szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:
aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:
- -3 és -1
A -1 megoldás, mert a behelyettesítve az eredeti egyenletbe:
- log3( − 5 + 12) = log39 = 2
De a -3 nem megoldás, mert ekkor a jobb oldal nincs értlmezve
- log3(( − 3)5 + 12) = log3 − 3