Érettségi gyakorló 1./Megoldások

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Logaritmikus egyenlet)
 
(egy szerkesztő 14 közbeeső változata nincs mutatva)
48. sor: 48. sor:
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
|- bgcolor="#efefef"
 
|- bgcolor="#efefef"
||[[Érettségi gyakorló 1.#Intervallumos feladat|vissza]]
+
||[[Érettségi gyakorló 1.#Halmazműveletek|vissza]]
 
|}
 
|}
  
108. sor: 108. sor:
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
|- bgcolor="#efefef"
 
|- bgcolor="#efefef"
||[[Érettségi gyakorló 1.#Intervallumos feladat|vissza]]
+
||[[Érettségi gyakorló 1.#Halmazműveletek|vissza]]
 
|}
 
|}
 
===Exponenciális egyenlet===
 
===Exponenciális egyenlet===
115. sor: 115. sor:
 
egyenletet a valós számok halmazán!
 
egyenletet a valós számok halmazán!
  
MO.: Ha a kitevőben össze van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:
+
MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:
 
:<math>3^{2x}\cdot 3^1+8\cdot 3^{x}\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0\;</math>
 
:<math>3^{2x}\cdot 3^1+8\cdot 3^{x}\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0\;</math>
 
3-mal beszorozva, hogy ne kelljen törtekkel számolni:
 
3-mal beszorozva, hogy ne kelljen törtekkel számolni:
134. sor: 134. sor:
 
exp. sz. m.
 
exp. sz. m.
 
:<math>-2=x\,</math>
 
:<math>-2=x\,</math>
 +
 +
===Exponenciális egyenlet gyakorló===
 +
Oldja meg az
 +
:<math>4^{x+\frac{1}{2}}+4^{x-1}=\dfrac{9}{4}\;</math>
 +
egyenletet a valós számok halmazán!
 +
 +
MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:
 +
:<math>4^{x}\cdot 4^{\frac{1}{2}}+4^{x}\cdot4^{-1}=\dfrac{9}{4}\;</math>
 +
mivel <math>4^{\frac{1}{2}}=2</math> ezért kiemelve <math>4^{x}</math>-t
 +
:<math>4^{x}\left(2+\frac{1}{4}\right)=\dfrac{9}{4}\;</math>
 +
azaz
 +
:<math>4^{x}\cdot \dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}\;</math>
 +
azaz
 +
:<math>4^{x}=1\;</math>
 +
bármely szám nulladik hatvány 1,
 +
:<math>4^{x}=4^{0}\,</math>
 +
exp. sz. m.
 +
:<math>x=0\,</math>
 +
 +
  
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
|- bgcolor="#efefef"
 
|- bgcolor="#efefef"
 
||[[Érettségi gyakorló 1.#Exponenciális egyenlet|vissza]]
 
||[[Érettségi gyakorló 1.#Exponenciális egyenlet|vissza]]
 +
|}
 +
===Logaritmikus egyenlet===
 +
Oldja meg a
 +
:<math>2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;</math>
 +
egyenletet a valós számok halmazán!
 +
 +
MO.: Kikötések:
 +
:<math>x+4>0\;</math>
 +
azaz
 +
:<math>x>-4\;</math>
 +
és
 +
:<math>5x+12>0\;</math>
 +
azaz
 +
:<math>x>-\dfrac{12}{5}=-2,4\;</math>
 +
Számegyenesen ábrázolva:
 +
  O---------------------------------------->
 +
-4
 +
                O-------------------------->
 +
              -2,4
 +
A közös rész:
 +
                O-------------------------->
 +
              -2,4
 +
azaz
 +
:<math>x>-\dfrac{12}{5}=-2,4\;</math>
 +
 +
:<math>2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;</math>
 +
a 2-t bevihetjük a logaritmus mellett álló kifejezés kitevőjébe az alábbi azonosság alapján:
 +
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|-
 +
||<math>n\cdot \mathrm{log}_a x=\mathrm{log}_a x^n</math>
 +
|}
 +
(ahol <math>x>0</math>, <math>a>0</math>, ''a''&ne;1). Tehát:
 +
:<math>\mathrm{log}_3(x+4)^2=\mathrm{log}_3(5x+12)\;</math>
 +
hivatkozva szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:
 +
:<math>(x+4)^2=5x+12\;</math>
 +
:<math>x^2+8x+16=5x+12\;</math>
 +
:<math>x^2+3x+4=0\;</math>
 +
aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:
 +
:-3 és -1
 +
A -1 megoldás, mert behelyettesítve az eredeti egyenletbe:
 +
:<math>2\cdot\mathrm{log}_3(-1+4)=2\cdot\mathrm{log}_3 3 =2\;</math>
 +
:<math>\mathrm{log}_3(-5+12)=\mathrm{log}_3 9=2\,</math>
 +
De a -3 nem megoldás, mert ekkor a jobb oldal nincs értelmezve
 +
:<math>\mathrm{log}_3((-3)5+12)=\mathrm{log}_3 (-3)\,</math>
 +
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
||[[Érettségi gyakorló 1.#Logaritmikus egyenlet|vissza]]
 +
|}
 +
 +
===Logaritmikus egyenlet gyakorló===
 +
Oldja meg az
 +
:<math>\mathrm{lg}(x+2)+\mathrm{lg}(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;</math>
 +
egyenletet a valós számok halmazán!
 +
 +
MO.: Kikötések:
 +
:<math>x+2>0\;</math>
 +
azaz
 +
:<math>x>-2\;</math>
 +
és
 +
:<math>x+1>0\;</math>
 +
azaz
 +
:<math>x>-1\;</math>
 +
Számegyenesen ábrázolva:
 +
  O---------------------------------------->
 +
-2
 +
        O-------------------------->
 +
        -1
 +
A közös rész:
 +
        O-------------------------->
 +
        -1
 +
azaz
 +
:<math>x>-1\;</math>
 +
 +
:<math>\mathrm{lg}(x+2)+\mathrm{lg}(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;</math>
 +
a két tízes alapú logaritmust egyesíthetjük az alábbi azonosság alapján:
 +
:<math>\,\mathrm{log}_a x+\mathrm{log}_a y=\mathrm{log}_a (xy)</math> (ahol <math>x,y>0</math>, <math>a>0</math>, ''a''&ne;1)
 +
tehát:
 +
:<math>\mathrm{lg}(x+2)(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;</math>
 +
hivatkozva a szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:
 +
:<math>(x+2)(x+1)= 20\;</math>
 +
:<math>x^2+3x+2=20\;</math>
 +
:<math>x^2+3x-18=0\;</math>
 +
aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:
 +
:-6 és 3
 +
amelyek közül a -6 nem felel meg az <math>x>-1</math> kikötésnek, de a 3 megoldás, mert:
 +
:<math>\mathrm{lg}(3+2)+\mathrm{lg}(3+1)=\mathrm{lg}\,5+\mathrm{lg}\,4=\mathrm{lg}\, 5\cdot 4 =\mathrm{lg}\, 20\;</math>
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
||[[Érettségi gyakorló 1.#Logaritmikus egyenlet|vissza]]
 
|}
 
|}

A lap jelenlegi, 2017. április 1., 06:12-kori változata

Tartalomjegyzék

Intervallumos halmazos

Legyen

A=\{x\in\mathbf{R}\mid 2\leq x\}

és B\; a

\mathrm{log}_2(x^2-9)\;

kifejezés értelmezési tartománya. Adja meg az

a) A\cap B,
b) B\setminus A,
c) A\setminus B és
d) A\cup B.

halmazokat!

MO.: A

\mathrm{log}_2(x^2-9)\;

kifejezéssel kapcsolatban tudjuk, logaritmus mellett csak pozitív szám állhat, ezért

x^2-9>0\;

x2 − 9 képe egy fölfelé nyitott parabola, x=\pm 3 gyökökkel, ezért ez a kifejezés x < − 3 ill. 3 < x esetekben pozitív:

B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }3<x\}

Ami kell:

A\cap B azaz A és B közös elemei,
B\setminus A B-ből kivéve A elemeit,
A\setminus B A-ból kivéve B elemeit,
A\cup B azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.

halmazokat!


A:      ----------------O             O------------------->
                       -3             3    
B:                                  *------------------->
                                    2
A∩B:                                  O------------------->
                                      3
B\A:                                *-*
                                    2 3
A\B:       -------------O
                       -3
A∪B:      --------------O           *------------------->
                       -3           2

A grafikonokról a halmazok:

A\cap B=\{x\in\mathbf{R}\mid 3<x\},
B\setminus A=\{x\in\mathbf{R}\mid 2\leq x\leq 3\},
A\setminus B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\} és
A\cup B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }2\leq x\}.


vissza

Intervallumos halmazos gyakorló

Intervallumokkal végzett műveletek

Legyen

A=\{x\in\mathbf{R}\mid x<3\}

és

B=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\leq x\}

Adja meg az

a) A\cap B,
b) B\setminus A,
c) A\setminus B és
d) A\cup B.

halmazokat!

MO.: Ami kell:

A\cap B azaz A és B közös elemei,
B\setminus A B-ből kivéve A elemeit,
A\setminus B A-ból kivéve B elemeit,
A\cup B azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.

halmazokat!


A:      ----------------O    
                        3 
B:           *------------------->
            -1
A∩B:         *----------O 
            -1          3
A\B:   ------O
            -1
B\A:                    *------------------->
                        3
A∪B:    --------------------------------------->
             

A grafikonokról a halmazok:

A\cap B=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\leq x<3\},
B\setminus A=\{x\in\mathbf{R}\mid 3\leq x\},
A\setminus B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-1\} és
A\cup B=\mathbf{R}.

Logaritmusos függvény értelmezési tartománya

Mi az

\mathrm{log}_5(x^2+4x+3)\,

kifejezés értelmezési tartománya?

MO.: Logaritmus mellett csak pozitív szám állhat:

x^2+4x+3>0\,

ez egy felfelé nyitott parabola és két zérushelye:

x^2+4x+3=0\;

x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot 1\cdot 3 }}{2}=\dfrac{-4\pm 2}{2}=\qquad -1,\qquad -3

Akkor pozitív a függvényérték, ha x < − 3 vagy − 1 < x:

----------------O              O-------------------->    
               -3             -1 
vissza

Exponenciális egyenlet

Oldja meg az

3^{2x+1}+8\cdot 3^{x-1}-\dfrac{1}{3}=0\;

egyenletet a valós számok halmazán!

MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:

3^{2x}\cdot 3^1+8\cdot 3^{x}\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0\;

3-mal beszorozva, hogy ne kelljen törtekkel számolni:

9\cdot 3^{2x}+8\cdot 3^{x}-1=0\;

Itt felismerhetjünk, hogy

3^{2x}=\left(3^x\right)^2\,

Bevezetve az

a=3^x\,

új ismeretlent:

9\cdot a^{2}+8\cdot a-1=0\;

a_{1,2}=\dfrac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot 9\cdot (-1) }}{18}=\dfrac{-8\pm 10}{18}=\qquad \dfrac{1}{9},\qquad -1

Innen az új ismeretlent definiáló egynletbe visszahelyettesítve, egyfelől:

-1=3^x\,

ami lehetetlen, továbbá:

\dfrac{1}{9}=3^x\,
3^{-2}=3^x\,

exp. sz. m.

-2=x\,

Exponenciális egyenlet gyakorló

Oldja meg az

4^{x+\frac{1}{2}}+4^{x-1}=\dfrac{9}{4}\;

egyenletet a valós számok halmazán!

MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:

4^{x}\cdot 4^{\frac{1}{2}}+4^{x}\cdot4^{-1}=\dfrac{9}{4}\;

mivel 4^{\frac{1}{2}}=2 ezért kiemelve 4x-t

4^{x}\left(2+\frac{1}{4}\right)=\dfrac{9}{4}\;

azaz

4^{x}\cdot \dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}\;

azaz

4^{x}=1\;

bármely szám nulladik hatvány 1,

4^{x}=4^{0}\,

exp. sz. m.

x=0\,


vissza

Logaritmikus egyenlet

Oldja meg a

2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;

egyenletet a valós számok halmazán!

MO.: Kikötések:

x+4>0\;

azaz

x>-4\;

és

5x+12>0\;

azaz

x>-\dfrac{12}{5}=-2,4\;

Számegyenesen ábrázolva:

 O---------------------------------------->
-4
               O-------------------------->
              -2,4

A közös rész:

               O-------------------------->
              -2,4

azaz

x>-\dfrac{12}{5}=-2,4\;
2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;

a 2-t bevihetjük a logaritmus mellett álló kifejezés kitevőjébe az alábbi azonosság alapján:

n\cdot \mathrm{log}_a x=\mathrm{log}_a x^n

(ahol x > 0, a > 0, a≠1). Tehát:

\mathrm{log}_3(x+4)^2=\mathrm{log}_3(5x+12)\;

hivatkozva szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:

(x+4)^2=5x+12\;
x^2+8x+16=5x+12\;
x^2+3x+4=0\;

aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:

-3 és -1

A -1 megoldás, mert behelyettesítve az eredeti egyenletbe:

2\cdot\mathrm{log}_3(-1+4)=2\cdot\mathrm{log}_3 3 =2\;
\mathrm{log}_3(-5+12)=\mathrm{log}_3 9=2\,

De a -3 nem megoldás, mert ekkor a jobb oldal nincs értelmezve

\mathrm{log}_3((-3)5+12)=\mathrm{log}_3 (-3)\,
vissza

Logaritmikus egyenlet gyakorló

Oldja meg az

\mathrm{lg}(x+2)+\mathrm{lg}(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;

egyenletet a valós számok halmazán!

MO.: Kikötések:

x+2>0\;

azaz

x>-2\;

és

x+1>0\;

azaz

x>-1\;

Számegyenesen ábrázolva:

 O---------------------------------------->
-2
        O-------------------------->
       -1

A közös rész:

        O-------------------------->
       -1

azaz

x>-1\;
\mathrm{lg}(x+2)+\mathrm{lg}(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;

a két tízes alapú logaritmust egyesíthetjük az alábbi azonosság alapján:

\,\mathrm{log}_a x+\mathrm{log}_a y=\mathrm{log}_a (xy) (ahol x,y > 0, a > 0, a≠1)

tehát:

\mathrm{lg}(x+2)(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;

hivatkozva a szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:

(x+2)(x+1)= 20\;
x^2+3x+2=20\;
x^2+3x-18=0\;

aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:

-6 és 3

amelyek közül a -6 nem felel meg az x > − 1 kikötésnek, de a 3 megoldás, mert:

\mathrm{lg}(3+2)+\mathrm{lg}(3+1)=\mathrm{lg}\,5+\mathrm{lg}\,4=\mathrm{lg}\, 5\cdot 4 =\mathrm{lg}\, 20\;
vissza
Személyes eszközök