Érettségi gyakorló 1./Megoldások

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2017. április 1., 07:11-kori változata

Tartalomjegyzék

1 Intervallumos halmazos
2 Intervallumos halmazos gyakorló
- 2.1 Intervallumokkal végzett műveletek
- 2.2 Logaritmusos függvény értelmezési tartománya
3 Exponenciális egyenlet
4 Exponenciális egyenlet gyakorló
5 Logaritmikus egyenlet
6 Logaritmikus egyenlet gyakorló

Intervallumos halmazos

Legyen

$A=\{x\in\mathbf{R}\mid 2\leq x\}$

és $B\;$ a

$\mathrm{log}_2(x^2-9)\;$

kifejezés értelmezési tartománya. Adja meg az

a) $A\cap B$ ,

b) $B\setminus A$ ,

c) $A\setminus B$ és

d) $A\cup B$ .

halmazokat!

MO.: A

$\mathrm{log}_2(x^2-9)\;$

kifejezéssel kapcsolatban tudjuk, logaritmus mellett csak pozitív szám állhat, ezért

$x^2-9>0\;$

$x 2 - 9$ képe egy fölfelé nyitott parabola, $x=\pm 3$ gyökökkel, ezért ez a kifejezés $x < - 3$ ill. $3 < x$ esetekben pozitív:

$B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }3<x\}$

Ami kell:

$A\cap B$ azaz A és B közös elemei,

$B\setminus A$ B-ből kivéve A elemeit,

$A\setminus B$ A-ból kivéve B elemeit,

$A\cup B$ azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.

halmazokat!

A:      ----------------O             O------------------->
                       -3             3    
B:                                  *------------------->
                                    2
A∩B:                                  O------------------->
                                      3
B\A:                                *-*
                                    2 3
A\B:       -------------O
                       -3
A∪B:      --------------O           *------------------->
                       -3           2

A grafikonokról a halmazok:

$A\cap B=\{x\in\mathbf{R}\mid 3<x\}$ ,

$B\setminus A=\{x\in\mathbf{R}\mid 2\leq x\leq 3\}$ ,

$A\setminus B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\}$ és

$A\cup B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-3\mbox{ vagy }2\leq x\}$ .

vissza

Intervallumos halmazos gyakorló

Intervallumokkal végzett műveletek

Legyen

$A=\{x\in\mathbf{R}\mid x<3\}$

és

$B=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\leq x\}$

Adja meg az

a) $A\cap B$ ,

b) $B\setminus A$ ,

c) $A\setminus B$ és

d) $A\cup B$ .

halmazokat!

MO.: Ami kell:

$A\cap B$ azaz A és B közös elemei,

$B\setminus A$ B-ből kivéve A elemeit,

$A\setminus B$ A-ból kivéve B elemeit,

$A\cup B$ azok az elemek, amik A ill. B közül legalább az egyikben benne vannak.

halmazokat!

A:      ----------------O    
                        3 
B:           *------------------->
            -1
A∩B:         *----------O 
            -1          3
A\B:   ------O
            -1
B\A:                    *------------------->
                        3
A∪B:    --------------------------------------->

A grafikonokról a halmazok:

$A\cap B=\{x\in\mathbf{R}\mid -1\leq x<3\}$ ,

$B\setminus A=\{x\in\mathbf{R}\mid 3\leq x\}$ ,

$A\setminus B=\{x\in\mathbf{R}\mid x<-1\}$ és

$A\cup B=\mathbf{R}$ .

Logaritmusos függvény értelmezési tartománya

Mi az

$\mathrm{log}_5(x^2+4x+3)\,$

kifejezés értelmezési tartománya?

MO.: Logaritmus mellett csak pozitív szám állhat:

$x^2+4x+3>0\,$

ez egy felfelé nyitott parabola és két zérushelye:

$x^2+4x+3=0\;$

$x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot 1\cdot 3 }}{2}=\dfrac{-4\pm 2}{2}=\qquad -1,\qquad -3$

Akkor pozitív a függvényérték, ha $x < - 3$ vagy $- 1 < x$ :

----------------O              O-------------------->    
               -3             -1

vissza

Exponenciális egyenlet

Oldja meg az

$3^{2x+1}+8\cdot 3^{x-1}-\dfrac{1}{3}=0\;$

egyenletet a valós számok halmazán!

MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:

$3^{2x}\cdot 3^1+8\cdot 3^{x}\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0\;$

3-mal beszorozva, hogy ne kelljen törtekkel számolni:

$9\cdot 3^{2x}+8\cdot 3^{x}-1=0\;$

Itt felismerhetjünk, hogy

$3^{2x}=\left(3^x\right)^2\,$

Bevezetve az

$a=3^x\,$

új ismeretlent:

$9\cdot a^{2}+8\cdot a-1=0\;$

$a_{1,2}=\dfrac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot 9\cdot (-1) }}{18}=\dfrac{-8\pm 10}{18}=\qquad \dfrac{1}{9},\qquad -1$

Innen az új ismeretlent definiáló egynletbe visszahelyettesítve, egyfelől:

$-1=3^x\,$

ami lehetetlen, továbbá:

$\dfrac{1}{9}=3^x\,$

$3^{-2}=3^x\,$

exp. sz. m.

$-2=x\,$

Exponenciális egyenlet gyakorló

Oldja meg az

$4^{x+\frac{1}{2}}+4^{x-1}=\dfrac{9}{4}\;$

egyenletet a valós számok halmazán!

MO.: Ha a kitevőben összeg van, akkor érdemes a hatványok közötti szorzatot felírni:

$4^{x}\cdot 4^{\frac{1}{2}}+4^{x}\cdot4^{-1}=\dfrac{9}{4}\;$

mivel $4^{\frac{1}{2}}=2$ ezért kiemelve $4 x$ -t

$4^{x}\left(2+\frac{1}{4}\right)=\dfrac{9}{4}\;$

azaz

$4^{x}\cdot \dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}\;$

azaz

$4^{x}=1\;$

bármely szám nulladik hatvány 1,

$4^{x}=4^{0}\,$

exp. sz. m.

$x=0\,$

vissza

Logaritmikus egyenlet

Oldja meg a

$2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;$

egyenletet a valós számok halmazán!

MO.: Kikötések:

$x+4>0\;$

azaz

$x>-4\;$

és

$5x+12>0\;$

azaz

$x>-\dfrac{12}{5}=-2,4\;$

Számegyenesen ábrázolva:

 O---------------------------------------->
-4
               O-------------------------->
              -2,4

A közös rész:

               O-------------------------->
              -2,4

azaz

$x>-\dfrac{12}{5}=-2,4\;$

$2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;$

a 2-t bevihetjük a logaritmus mellett álló kifejezés kitevőjébe az alábbi azonosság alapján:

Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\boxed): \boxed{n\cdot \mathrm{log}_a x=\mathrm{log}_a x^n}

(ahol  $x > 0$ ,  $a > 0$ , a≠1)

Tehát:

$\mathrm{log}_3(x+4)^2=\mathrm{log}_3(5x+12)\;$

hivatkozva szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:

$(x+4)^2=5x+12\;$

$x^2+8x+16=5x+12\;$

$x^2+3x+4=0\;$

aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:

-3 és -1

A -1 megoldás, mert behelyettesítve az eredeti egyenletbe:

$2\cdot\mathrm{log}_3(-1+4)=2\cdot\mathrm{log}_3 3 =2\;$

$\mathrm{log}_3(-5+12)=\mathrm{log}_3 9=2\,$

De a -3 nem megoldás, mert ekkor a jobb oldal nincs értelmezve

$\mathrm{log}_3((-3)5+12)=\mathrm{log}_3 (-3)\,$

vissza

Logaritmikus egyenlet gyakorló

Oldja meg az

$\mathrm{lg}(x+2)+\mathrm{lg}(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;$

egyenletet a valós számok halmazán!

MO.: Kikötések:

$x+2>0\;$

azaz

$x>-2\;$

és

$x+1>0\;$

azaz

$x>-1\;$

Számegyenesen ábrázolva:

 O---------------------------------------->
-2
        O-------------------------->
       -1

A közös rész:

        O-------------------------->
       -1

azaz

$x>-1\;$

$\mathrm{lg}(x+2)+\mathrm{lg}(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;$

a két tízes alapú logaritmust egyesíthetjük az alábbi azonosság alapján:

$\,\mathrm{log}_a x+\mathrm{log}_a y=\mathrm{log}_a (xy)$ (ahol

x, y > 0

,

a > 0

, a≠1)

tehát:

$\mathrm{lg}(x+2)(x+1)=\mathrm{lg}\, 20\;$

hivatkozva a szigorú monotonitásra, elhagyható a logaritmus:

$(x+2)(x+1)= 20\;$

$x^2+3x+2=20\;$

$x^2+3x-18=0\;$

aminek a gyökei a másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján:

-6 és 3

amelyek közül a -6 nem felel meg az $x > - 1$ kikötésnek, de a 3 megoldás, mert:

$\mathrm{lg}(3+2)+\mathrm{lg}(3+1)=\mathrm{lg}\,5+\mathrm{lg}\,4=\mathrm{lg}\, 5\cdot 4 =\mathrm{lg}\, 20\;$

vissza

@@ 185. sor: / 185. sor: @@
 :<math>2\cdot\mathrm{log}_3(x+4)=\mathrm{log}_3(5x+12)\;</math>
 a 2-t bevihetjük a logaritmus mellett álló kifejezés kitevőjébe az alábbi azonosság alapján:
-:<math>n\cdot \mathrm{log}_a x=\mathrm{log}_a x^n</math> (ahol <math>x>0</math>, <math>a>0</math>, ''a''&ne;1)
+:<math>\boxed{n\cdot \mathrm{log}_a x=\mathrm{log}_a x^n}</math> (ahol <math>x>0</math>, <math>a>0</math>, ''a''&ne;1)
 Tehát:
 :<math>\mathrm{log}_3(x+4)^2=\mathrm{log}_3(5x+12)\;</math>

Érettségi gyakorló 1./Megoldások

A lap 2017. április 1., 07:11-kori változata

Tartalomjegyzék

Intervallumos halmazos

Intervallumos halmazos gyakorló

Intervallumokkal végzett műveletek

Logaritmusos függvény értelmezési tartománya

Exponenciális egyenlet

Exponenciális egyenlet gyakorló

Logaritmikus egyenlet

Logaritmikus egyenlet gyakorló

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök