A3 2009 gyak 1

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
6. sor: 6. sor:
  
 
''Mo.''  
 
''Mo.''  
:<math>r(t)=(3t^2,1,\cos t)</math>
+
:<math>r(t)=(3t^2,1,\cos t)\,</math>
:<math>\int v \mathrm{d}r=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+3t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)+\sin t\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t</math>
+
:<math>\int v \mathrm{d}r=</math>
 +
:<math>=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+3t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)+\sin t\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=</math>
 +
:<math>=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+\frac{1}{2}6t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)-(-\sin t)\,\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=</math>
 +
::itt <math>\int t\sin t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\int \cos t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\sin t</math>
 +
::és <math>\int t^2\cos t\,\mathrm{d}t=-t^2\sin t+\int 2t\sin t\mathrm{d}t=</math>
 +
:::<math>=-t^2\sin t+2t\cos t-2\int \cos t\mathrm{d}t=-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t</math>
 +
ezért
 +
:<math>=[\mathrm{ch}(t^3)]_0^{2\pi}+\frac{1}{2}[\mathrm{sh}\,(2t^3)]_0^{2\pi}-[\mathrm{ch}\,(\cos t)]_0^{2\pi}+[t\cos t-\sin t]_0^{2\pi} +\frac{1}{6}[\sin^6t]_0^{2\pi}+[-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{2\pi}=</math>
 +
:<math>=\mathrm{ch}((2\pi)^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(2(2\pi)^3)</math>

A lap 2009. október 27., 09:32-kori változata

1. Integrálja a

v(x,y,z)=(\mathrm{sh}(y^2\sqrt[3]{x})+\mathrm{ch}\,(x+y^3),z\,\mathrm{sh}\,(\cos y)+yz,z^5+y^2)

vektormezőt az

r(t)=(t^3,t,\sin t),\quad\quad t\in[0,2\pi]

görbe mentén!

Mo.

r(t)=(3t^2,1,\cos t)\,
\int v \mathrm{d}r=
=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+3t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)+\sin t\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=
=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+\frac{1}{2}6t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)-(-\sin t)\,\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=
itt \int t\sin t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\int \cos t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\sin t
és \int t^2\cos t\,\mathrm{d}t=-t^2\sin t+\int 2t\sin t\mathrm{d}t=
=-t^2\sin t+2t\cos t-2\int \cos t\mathrm{d}t=-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t

ezért

=[\mathrm{ch}(t^3)]_0^{2\pi}+\frac{1}{2}[\mathrm{sh}\,(2t^3)]_0^{2\pi}-[\mathrm{ch}\,(\cos t)]_0^{2\pi}+[t\cos t-\sin t]_0^{2\pi} +\frac{1}{6}[\sin^6t]_0^{2\pi}+[-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{2\pi}=
=\mathrm{ch}((2\pi)^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(2(2\pi)^3)
Személyes eszközök