A3 2009 gyak 1

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
26. sor: 26. sor:
 
''Mo.'' A vektormező rotációmentes:
 
''Mo.'' A vektormező rotációmentes:
 
:<math>\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0</math>
 
:<math>\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0</math>
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt.
+
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
 +
 
 +
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
 +
:<math>r(0)=(3,0,2)\,</math>
 +
::<math>r(\pi)=(-3,0,2)\,</math>
 +
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
 +
:<math>r_2(u)=(-3+u,0,2),\quad\quad 0\leq u\leq 6,\quad\quad \dot{r_2}(u)=(1,0,0)</math>
 +
Köti össze. Ekkor r+<math>r_2</math> már zárt és
 +
:<math>\int v\,\mathrm{d}r=0-\int v\mathrm{d}r_2\,</math>
 +
:<math>\int v\mathrm{d}r_2=\int\limits_{u=0}^{6}-2\,\mathrm{d}u=-12\,</math>
 +
:<math>\int v\,\mathrm{d}r=12</math>
 +
 
 +
(2)

A lap 2009. október 27., 09:56-kori változata

1. Integrálja a

v(x,y,z)=(\mathrm{sh}(y^2\sqrt[3]{x})+\mathrm{ch}\,(x+y^3),z\,\mathrm{sh}\,(\cos y)+yz,z^5+y^2)

vektormezőt az

r(t)=(t^3,t,\sin t),\quad\quad t\in[0,2\pi]

görbe mentén!

Mo.

r(t)=(3t^2,1,\cos t)\,
\int v \mathrm{d}r=
=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+3t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)+\sin t\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=
=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+\frac{1}{2}6t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)-(-\sin t)\,\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=
itt \int t\sin t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\int \cos t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\sin t
és \int t^2\cos t\,\mathrm{d}t=-t^2\sin t+\int 2t\sin t\mathrm{d}t=
=-t^2\sin t+2t\cos t-2\int \cos t\mathrm{d}t=-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t

ezért

=[\mathrm{ch}(t^3)]_0^{2\pi}+\frac{1}{2}[\mathrm{sh}\,(2t^3)]_0^{2\pi}-[\mathrm{ch}\,(\cos t)]_0^{2\pi}+
+[t\cos t-\sin t]_0^{2\pi} +\frac{1}{6}[\sin^6t]_0^{2\pi}+[-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{2\pi}=
=\mathrm{ch}((2\pi)^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(2(2\pi)^3)=\mathrm{ch}(8\pi^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(16\pi^3)

2. Integráljuk a

v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,

vektormezőt az

r(t)=(3\cos t,4\sin t,2)\quad\quad 0\leq t\leq \pi

görbe mentén!

Mo. A vektormező rotációmentes:

\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0

A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.

(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:

r(0)=(3,0,2)\,
r(\pi)=(-3,0,2)\,

ezeket paraméter szerint növekvő módon az

r_2(u)=(-3+u,0,2),\quad\quad 0\leq u\leq 6,\quad\quad \dot{r_2}(u)=(1,0,0)

Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és

\int v\,\mathrm{d}r=0-\int v\mathrm{d}r_2\,
\int v\mathrm{d}r_2=\int\limits_{u=0}^{6}-2\,\mathrm{d}u=-12\,
\int v\,\mathrm{d}r=12

(2)

Személyes eszközök