A3 2009 gyak 1
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
26. sor: | 26. sor: | ||
''Mo.'' A vektormező rotációmentes: | ''Mo.'' A vektormező rotációmentes: | ||
:<math>\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0</math> | :<math>\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0</math> | ||
− | A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. | + | A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk. |
+ | |||
+ | (1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont: | ||
+ | :<math>r(0)=(3,0,2)\,</math> | ||
+ | ::<math>r(\pi)=(-3,0,2)\,</math> | ||
+ | ezeket paraméter szerint növekvő módon az | ||
+ | :<math>r_2(u)=(-3+u,0,2),\quad\quad 0\leq u\leq 6,\quad\quad \dot{r_2}(u)=(1,0,0)</math> | ||
+ | Köti össze. Ekkor r+<math>r_2</math> már zárt és | ||
+ | :<math>\int v\,\mathrm{d}r=0-\int v\mathrm{d}r_2\,</math> | ||
+ | :<math>\int v\mathrm{d}r_2=\int\limits_{u=0}^{6}-2\,\mathrm{d}u=-12\,</math> | ||
+ | :<math>\int v\,\mathrm{d}r=12</math> | ||
+ | |||
+ | (2) |
A lap 2009. október 27., 09:56-kori változata
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2)