A3 2009 gyak 1

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Rotációmentes vektormező, potenciál)
(Rotációmentes vektormező, potenciál)
64. sor: 64. sor:
 
:<math>=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0^2=x_0^2y_0+y_0z_0-\frac{1}{2}x_0z_0-\frac{1}{2}z_0^2</math>
 
:<math>=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0^2=x_0^2y_0+y_0z_0-\frac{1}{2}x_0z_0-\frac{1}{2}z_0^2</math>
 
Ezzel:
 
Ezzel:
:<math>\Phi(3,0,2)-\Phi(-3,0,2)=-3-(3)=-6</math>
+
:<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=3+3=6</math>

A lap 2009. október 27., 10:27-kori változata

Vonalintegrál

\int \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\mathrm{d}t

1. Integrálja a

v(x,y,z)=(\mathrm{sh}(y^2\sqrt[3]{x})+\mathrm{ch}\,(x+y^3),z\,\mathrm{sh}\,(\cos y)+yz,z^5+y^2)

vektormezőt az

r(t)=(t^3,t,\sin t),\quad\quad t\in[0,2\pi]

görbe mentén!

Mo.

r(t)=(3t^2,1,\cos t)\,
\int v \mathrm{d}r=
=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+3t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)+\sin t\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=
=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+\frac{1}{2}6t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)-(-\sin t)\,\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=
itt \int t\sin t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\int \cos t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\sin t
és \int t^2\cos t\,\mathrm{d}t=-t^2\sin t+\int 2t\sin t\mathrm{d}t=
=-t^2\sin t+2t\cos t-2\int \cos t\mathrm{d}t=-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t

ezért

=[\mathrm{ch}(t^3)]_0^{2\pi}+\frac{1}{2}[\mathrm{sh}\,(2t^3)]_0^{2\pi}-[\mathrm{ch}\,(\cos t)]_0^{2\pi}+
+[t\cos t-\sin t]_0^{2\pi} +\frac{1}{6}[\sin^6t]_0^{2\pi}+[-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{2\pi}=
=\mathrm{ch}((2\pi)^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(2(2\pi)^3)=\mathrm{ch}(8\pi^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(16\pi^3)

Rotációmentes vektormező, potenciál

Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.

Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:

  1. rot v0 (örvénymentes)
  2. minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
  3. létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)

Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor

\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,

2. Integráljuk a

v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,

vektormezőt az

r(t)=(3\cos t,4\sin t,2)\quad\quad 0\leq t\leq \pi

görbe mentén!

Mo. A vektormező rotációmentes:

\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0

A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.

(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:

r(0)=(3,0,2)\,
r(\pi)=(-3,0,2)\,

ezeket paraméter szerint növekvő módon az

r_2(u)=(-3+u,0,2),\quad\quad 0\leq u\leq 6,\quad\quad \dot{r_2}(u)=(1,0,0)

Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és

\int v\,\mathrm{d}r=0-\int v\mathrm{d}r_2\,
\int v\mathrm{d}r_2=\int\limits_{u=0}^{6}-2\,\mathrm{d}u=-12\,
\int v\,\mathrm{d}r=12

(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és

\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,

Ezért legyen

\Phi(r):=\int\limits_{0}^{r}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\int\limits_{0}^{r}v\,\mathrm{d}r

Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:

s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)

Ezzel

\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-z_0^2t\;\mathrm{d}t=
=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0^2y_0t^2-x_0z_0t+y_0x_0^2t^2+y_0z_0t+z_0y_0t-z_0^2t\;\mathrm{d}t=
=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0^2=x_0^2y_0+y_0z_0-\frac{1}{2}x_0z_0-\frac{1}{2}z_0^2

Ezzel:

Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 3 + 3 = 6
Személyes eszközök