A3 2009 gyak 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (\) |
||
(egy szerkesztő 20 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | ==Vonalintegrál== | ||
+ | :<math>\int \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
'''1.''' Integrálja a | '''1.''' Integrálja a | ||
− | :<math>v(x,y,z)=(\mathrm{sh}(y^2\sqrt[3]{x})+\ | + | :<math>v(x,y,z)=(\mathrm{sh}(y^2\sqrt[3]{x})+\mathrm{ch}\,(x+y^3),z\,\mathrm{sh}\,(\cos y)+yz,z^5+y^2)</math> |
vektormezőt az | vektormezőt az | ||
:<math>r(t)=(t^3,t,\sin t),\quad\quad t\in[0,2\pi]</math> | :<math>r(t)=(t^3,t,\sin t),\quad\quad t\in[0,2\pi]</math> | ||
görbe mentén! | görbe mentén! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>r(t)=(3t^2,1,\cos t)\,</math> | ||
+ | :<math>\int v \mathrm{d}r=</math> | ||
+ | :<math>=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+3t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)+\sin t\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=</math> | ||
+ | :<math>=\int \limits_0^{2\pi} 3t^2\mathrm{sh}(t^3)+\frac{1}{2}6t^2\mathrm{ch}\,(2t^3)-(-\sin t)\,\mathrm{sh}\,(\cos t)+t\sin t +\cos t \sin^5t+t^2\cos t\;\mathrm{d}t=</math> | ||
+ | ::itt <math>\int t\sin t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\int \cos t\,\mathrm{d}t=t\cos t-\sin t</math> | ||
+ | ::és <math>\int t^2\cos t\,\mathrm{d}t=-t^2\sin t+\int 2t\sin t\mathrm{d}t=</math> | ||
+ | :::<math>=-t^2\sin t+2t\cos t-2\int \cos t\mathrm{d}t=-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | :<math>=[\mathrm{ch}(t^3)]_0^{2\pi}+\frac{1}{2}[\mathrm{sh}\,(2t^3)]_0^{2\pi}-[\mathrm{ch}\,(\cos t)]_0^{2\pi}+</math> | ||
+ | :<math>+[t\cos t-\sin t]_0^{2\pi} +\frac{1}{6}[\sin^6t]_0^{2\pi}+[-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{2\pi}=</math> | ||
+ | :<math>=\mathrm{ch}((2\pi)^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(2(2\pi)^3)=\mathrm{ch}(8\pi^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(16\pi^3)</math> | ||
+ | |||
+ | ==Rotációmentes vektormező, potenciál== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' Ha '''v'''('''r''') egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot '''v''' ≡ '''0''', akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (Konzervatív vektormezők jellemzése) '''v'''('''r''') egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással: | ||
+ | # rot '''v''' ≡ '''0''' (örvénymentes) | ||
+ | # minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív) | ||
+ | # létezik Φ('''r''') folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ '''v''' (potenciálos) | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (Első gradiens tétel) Ha a '''v'''('''r''') egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''Stokes-tétel''' Ha ''v'' egy folytonosan differenciálható vektormező és ''F'' olyan felület, mely peremével együtt a ''v'' értelmezési tartományában van, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial F} v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{F}\,\mathrm{rot}\,v\,\mathrm{d}F</math> | ||
+ | (megj.: ha ''G'' egy ''egyszeresen összefüggő'' tartománybeli zárt görbe, akkor mindig létezik olyan ''F'' felület ezen belül, melynek pereme ''G''.) | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Integráljuk a | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math> | ||
+ | vektormezőt az | ||
+ | :<math>r(t)=(3\cos t,4\sin t,2)\quad\quad 0\leq t\leq \pi</math> | ||
+ | görbe mentén! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' A vektormező rotációmentes: | ||
+ | :<math>\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0</math> | ||
+ | A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk. | ||
+ | |||
+ | (1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont: | ||
+ | :<math>r(0)=(3,0,2)\,</math> | ||
+ | ::<math>r(\pi)=(-3,0,2)\,</math> | ||
+ | ezeket paraméter szerint növekvő módon az | ||
+ | :<math>r_2(u)=(-3+u,0,2),\quad\quad 0\leq u\leq 6,\quad\quad \dot{r_2}(u)=(1,0,0)</math> | ||
+ | Köti össze. Ekkor r+<math>r_2</math> már zárt és | ||
+ | :<math>\int v\,\mathrm{d}r=0-\int v\mathrm{d}r_2\,</math> | ||
+ | :<math>\int v\mathrm{d}r_2=\int\limits_{u=0}^{6}-2\,\mathrm{d}u=-12\,</math> | ||
+ | :<math>\int v\,\mathrm{d}r=12</math> | ||
+ | |||
+ | (2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és | ||
+ | :<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | ||
+ | Ezért legyen | ||
+ | :<math>\Phi(r):=\int\limits_{0}^{r}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\int\limits_{0}^{r}v\,\mathrm{d}r</math> | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math> | ||
+ | Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe: | ||
+ | :<math>s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)</math> | ||
+ | Ezzel | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0 t\;\mathrm{d}t=</math> | ||
+ | :<math>=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0^2y_0t^2-x_0z_0t+y_0x_0^2t^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0t\;\mathrm{d}t=</math> | ||
+ | :<math>=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0x_0=x_0^2y_0+y_0z_0-x_0z_0</math> | ||
+ | Ellenőrizzük! | ||
+ | :<math>\frac{\partial\Phi}{\partial x}=2xy+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^2+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial z}=y-x</math> | ||
+ | Ezzel a görbére a vonalintegrál: | ||
+ | :<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math> | ||
+ | |||
+ | ==Felületi integrál== | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Határozzuk meg az | ||
+ | :<math>r(u,v)=(\cos u\,\mathrm{ch}\,v,\cos u\,\mathrm{sh}\,v,3\sin u),\quad\quad (u,v)\in [0,4]\times [0,2]</math> | ||
+ | felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel | ||
+ | :<math>x=\cos u\,\mathrm{ch}\,v</math> | ||
+ | :<math>y=\cos u\mathrm{sh}\,v</math> | ||
+ | :<math>z=3\sin u\,</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | :<math>x^2-y^2=\cos^2u(\mathrm{ch}^2\,v-\mathrm{sh}^2\,v)=\cos^2 u</math> | ||
+ | :<math>x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2=1</math> ill. <math>x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2-1=0</math> | ||
+ | Ekkor az | ||
+ | :<math>F(x,y,z)=x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2-1\,</math> | ||
+ | gradiense a normálvektort adja: | ||
+ | :<math>n(x,y,z)=\mathrm{grad}\,F=(2x,-2y,\frac{2}{9}z)\,</math> | ||
+ | azaz az adott pontban | ||
+ | :<math>n(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(-2,0,0)\,</math> | ||
+ | (2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja. | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial u}=(-\sin u\,\mathrm{ch}\,v,-\sin u\,\mathrm{sh}\,v,3\cos u)\,</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(\cos u\,\mathrm{sh}\,v,\cos u\,\mathrm{ch}\,v,0)\,</math> | ||
+ | Az adott pontban: | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3),\quad \frac{\partial r}{\partial v}=(0,-1,0),\quad \frac{\partial r}{\partial v}\times\frac{\partial r}{\partial v}=(-3,0,0)</math> | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Integráljuk a felső egységsugarú, origóközépponttú félgömbefelületre az | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(\frac{1}{x},\frac{x}{y^2},\frac{1}{z^3})</math> | ||
+ | vektormezőt! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' Paraméterezzük gömbi koordinátákkal: ''r''(φ,θ)=(''x''(φ,θ),''y''(φ,θ),''z''(φ,θ)) | ||
+ | :<math>x=\cos\varphi\cos\vartheta</math> | ||
+ | :<math>y=\sin\varphi\cos\vartheta</math> | ||
+ | :<math>z=\sin\vartheta</math> | ||
+ | A koordinátavonal irányú vektorok: | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \varphi}=(-\sin\varphi\cos\vartheta,\cos\varphi\cos\vartheta,0)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \vartheta}=(-\cos\varphi\sin\vartheta,-\sin\varphi\sin\vartheta,\cos\vartheta)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \varphi}\times\frac{\partial r}{\partial \vartheta}=(\cos^2\vartheta\cos\varphi,\cos^2\vartheta\sin\varphi,\cos\vartheta\sin\vartheta)</math> | ||
+ | Az integrál: | ||
+ | :<math>\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\frac{\cos^2\vartheta\cos\varphi}{\cos\varphi\cos\vartheta}+\frac{\cos^2\vartheta\sin\varphi\cos\varphi\cos\vartheta}{\sin^2\varphi\cos^2\vartheta}+\frac{\cos\vartheta\sin\vartheta}{\sin^3\vartheta}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta=</math> | ||
+ | <math>=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\cos^2\vartheta+\frac{\cos\varphi\cos \vartheta}{\sin\varphi}+\frac{\cos\vartheta}{\sin^2\vartheta}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta=</math> | ||
+ | |||
+ | ==Gauss-tétel== | ||
+ | Ha '''v''' folytonosan differenciálható vektormező és ''V'' az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂''V'' felület, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial V} v\;\mathrm{d}F=\int\limits_{V}\,\mathrm{div}\,v\,\mathrm{d}V</math> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' Számítsuk ki az | ||
+ | :<math>x^2+y^2=z</math> | ||
+ | felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(3x-zx^2+\sin y,\mathrm{sh}\,z^2+5xy+2006y,xz^2-5xz+4x)\,</math> | ||
+ | vektormező felületmenti integrálját! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával. | ||
+ | :<math>\mathrm{div}\,v(x,y,z)=(3-2zx)+(5x+2006)+(2xz-5x)=2009\,</math> | ||
+ | Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra) | ||
+ | :<math>r(\rho,\varphi,z)=\begin{bmatrix}\rho\cos\varphi\\\rho\sin\varphi\\z\end{bmatrix}</math> | ||
+ | és a tartomány: | ||
+ | :<math>T_{\rho,\varphi,z}=\{(\rho,\varphi,z)\mid 0\leq\varphi\leq 2\pi,\;1\leq z\leq 4\;0\leq\rho\leq \sqrt{z}\}</math> | ||
+ | hiszen | ||
+ | :<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z}</math> | ||
+ | tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál: | ||
+ | :<math>\mathrm{det}\,\mathrm{J}(\varphi,\rho,z)=\rho</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | <math>\int\limits_{T_{x,y,z}}\mathrm{div}\,v(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int\limits_{T_{\rho,\varphi,z}}\rho\,\mathrm{div}\,v(x(\rho,\varphi,z),y(\rho,\varphi,z),z)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z=</math> | ||
+ | <math>=\int\limits_{z=1}^{4}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\rho=0}^{\sqrt{z}}2009\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z</math> |
A lap jelenlegi, 2009. október 28., 16:02-kori változata
Tartalomjegyzék |
Vonalintegrál
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
Rotációmentes vektormező, potenciál
Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.
Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v ≡ 0 (örvénymentes)
- minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
- létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)
Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor
Stokes-tétel Ha v egy folytonosan differenciálható vektormező és F olyan felület, mely peremével együtt a v értelmezési tartományában van, akkor
(megj.: ha G egy egyszeresen összefüggő tartománybeli zárt görbe, akkor mindig létezik olyan F felület ezen belül, melynek pereme G.)
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Felületi integrál
3. Határozzuk meg az
felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban!
Mo. (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel
ezért
- ill.
Ekkor az
gradiense a normálvektort adja:
azaz az adott pontban
(2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja.
Az adott pontban:
4. Integráljuk a felső egységsugarú, origóközépponttú félgömbefelületre az
vektormezőt!
Mo. Paraméterezzük gömbi koordinátákkal: r(φ,θ)=(x(φ,θ),y(φ,θ),z(φ,θ))
A koordinátavonal irányú vektorok:
Az integrál:
Gauss-tétel
Ha v folytonosan differenciálható vektormező és V az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂V felület, akkor
5. Számítsuk ki az
- x2 + y2 = z
felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a
vektormező felületmenti integrálját!
Mo. Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával.
Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra)
és a tartomány:
hiszen
tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál:
ezért