A3 2009 gyak 2

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Oldjuk meg az

$y'=\sin(x)y\,\mathrm{ln}\,y$

egyenletet az

a) $y(0)=1\,$

b) $y(0)=e\,$

kezdeti feltételek mellett!

Mo. a) Az egyenlet konstans megoládsa az y(x)=1. Ez a kezdeti feltételnek megfelel.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

$\frac{1}{y\,\mathrm{ln}\,y}y'=\sin x$

$\frac{1}{y}\mathrm{ln}^{-1}(y)y'=\sin x$

$\mathrm{ln}\,|\mathrm{ln}\,y|=-\cos x+C$

ez az implicit egyenlet. Ha x=0 és y=e, akkor

$0=-1+C\,$, $C=1\,$

és

$y(x)=e^{e^{(1-\cos x)}}$

Megjegyzés. Minden R× R⁺-beli kezdeti feltételre egyértelműen létezik a megoldás.

Homogén fokszámú egyenlet

Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha

$F(\lambda x,\lambda y)=F(x,y)\,$

A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az

$u=\frac{y}{x}\,$

új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Tehát:

$y=ux\,$

Ekkor

$(xu)'=u+xu'=y'\,$

azaz

$y'=u'x+u\,$

2. Oldjuk meg az $y'x=y+\sqrt{x^2+y^2}\,$ egyenletet!

Mo. Tegyük föl, hogy x nem 0.

$(u'x+u)x=ux+\sqrt{x^2+u^2x^2}\,$

$u'x^2=|x|\sqrt{1+u^2}\,$

$\frac{u'}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{1}{|x|}\,$

ezt kell megoldani. Nyilván külön pozitív és külin negatív intervallumokra (a 0 ne legyen benne). Ekkor:

$\mathrm{arsh}\,y=\mathrm{ln}\,x+C$ pozitív x-re

$\mathrm{arsh}\,y=-\mathrm{ln}\,|x|+C$ negatív x-re