A3 2009 gyak 2
Tartalomjegyzék |
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
kezdeti feltételek mellett!
Mo. a) Az egyenlet konstans megoládsa az y(x)=1. Ez a kezdeti feltételnek megfelel.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
ez az implicit egyenlet. Ha x=0 és y=e, akkor
- ,
és
Megjegyzés. Minden R× R+-beli kezdeti feltételre egyértelműen létezik a megoldás.
Homogén fokszámú egyenlet
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Tehát:
Ekkor
azaz
2. Oldjuk meg az
egyenletet! Mo. Általános megoldás:
A szinguláris megoldás: ha x0 = 0, akkor y szükségképpen 0. Itt viszont nem reguláris a differenciálegyenlet:
azaz a 0-hoz tart, így legalább kettő (valójában végtelen) megoldás halad át a (0,0) ponton.
Cauchy-típusú integrálok
3.
- a)
- (a görbe egy pozitívan irányított 0 középponttú ellipszis) és a
- b)
integrálokat!
- c) Milyen szakadások vannak z=0-ban?
- d) Adja meg a reziduumokat a z=0-ban!
Mo. a)
az első másodfokú pólus, a második tagban egy elsőfokú pólust fedezhtünk föl. A reziduumok az integrálok a 2 pi i-k nélkül.
b) A nullabeli 99. deriváltra van szükségünk:
- , n = 1
- , n = 2
- , n = 99
Ez egy 99-edfokú pólus, residuuma a 2pi i nélküli tényező.
Reziduumszámítás
4. Számítsuk ki az alábbi függvények 0-beli reziduumát, egységkörön vett integrálját és a szakadás jellegét!
- a)
- b)
- c)
Mo. a) reguláris, mert 0-ban egy nevezetes határértékkel egyenlő. Res = 0, integrál = 0.
b)
Innen Res = 4, int = 8πi. A szakadás lényeges.
c) Ennek a függvénynek a 0-ban harmadfokú pólusa van mert z3f(z) már reguláris. Ez a Riemann-tétel miatt van és mert lim0←z z3f(z) = 1
ahol az előbb kiszámoltuk, hogy c-3=1
innen c-1=-1/6, int = -πi/3
HF. Határozzuk meg a
- a)
- b)
- c)
- d)
függvények 0-beli reziduumát, egységkörön vett integrálját és szakadásának jellegét!
Laurent-sorfejtés
5. Határozzuk meg az
nulla körüli Laurent-sorait!
Mo.
alkalmas tehát a c=-1/2.
Ha |z|<1, akkor
Ha |z|>1, akkor
A másik tag:
Ha |z/3|<1, azaz |z|<3
Ha |z|>3 , akkor
Tehát a Laurent-sorok:
|z|<1 esetén reguláris:
1<|z|<3 esetén vegyes:
|z|>3 esetén csak főrész:
HF Fejtsük sorba a 0 körül az
függvényt!