A3 2009 vizsga 1
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálgeometria) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálgeometria) |
||
17. sor: | 17. sor: | ||
:<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=</math> | :<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=</math> | ||
:<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}e^{2\pi}</math> | :<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}e^{2\pi}</math> | ||
+ | '''1. c)''' Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal? | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz | ||
+ | :<math>yz=\lambda \,</math> | ||
+ | :<math>xz=\lambda \,</math> | ||
+ | :<math>xy=\lambda \,</math> | ||
+ | Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1). | ||
+ | 2. mo) Paraméterezzük a felületet! | ||
+ | :<math>z=\frac{1}{xy}\,\quad\quad x,y\ne 0</math> |
A lap 2009. december 14., 21:03-kori változata
Differenciálgeometria
1. a) Határozza meg az
görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!
Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:
Az érintő egyenes vektoregyenlete
1. b) Határozzuk meg a
- ,
györbeszakasz ívhosszát!
Mo.
1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?
Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz
Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1). 2. mo) Paraméterezzük a felületet!