A3 2009 vizsga 1

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Differenciálgeometria)
(Differenciálgeometria)
28. sor: 28. sor:
 
:<math>\mathbf{r}(x,y)=\begin{bmatrix}x\\y\\ \frac{1}{xy}\end{bmatrix}</math>
 
:<math>\mathbf{r}(x,y)=\begin{bmatrix}x\\y\\ \frac{1}{xy}\end{bmatrix}</math>
 
A koordinátavonalak érintői:
 
A koordinátavonalak érintői:
:<math>\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}=\begin{bmatrix}1\\0\\ -\frac{1}{y}\frac{1}{x^2}\end{bmatrix}</math>, <math>\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}=\begin{bmatrix}0\\1\\ -\frac{1}{x}\frac{1}{y^2}\end{bmatrix}</math>
+
:<math>\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}=\begin{bmatrix}0\\1\\ -\frac{1}{x}\frac{1}{y^2}\end{bmatrix}</math>, <math>\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}=\begin{bmatrix}1\\0\\ -\frac{1}{y}\frac{1}{x^2}\end{bmatrix}</math>
 
A normális:
 
A normális:
 
:<math>\mathbf{n}(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}</math>
 
:<math>\mathbf{n}(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}</math>

A lap 2009. december 14., 20:18-kori változata

Differenciálgeometria

1. a) Határozza meg az

\mathbf{r}(t)=t^2\mathbf{i}+\frac{1+t}{t}\mathbf{j}+\frac{t}{t+1}\mathbf{k}\,

görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!

Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}(t^2)^\dot{}\\ (\frac{1+t}{t})^\dot{}\\ (\frac{t}{t+1})^\dot{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2t\\ -\frac{1}{t^2}\\ \frac{1}{(t+1)^2}\end{bmatrix}

Az érintő egyenes vektoregyenlete

\mathbf{s}(u)=\mathbf{r}(1)+\dot{\mathbf{r}}(1)u=\begin{bmatrix}1\\2\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\\-\frac{1}{4}\end{bmatrix}u=\begin{bmatrix}1+2u\\2-u\\-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}u\end{bmatrix}

1. b) Határozzuk meg a

\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,, t\in[0,2]

györbeszakasz ívhosszát!

Mo.

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}e^t\cos t-e^t\sin t \\e^t\sin t+e^t\cos t\\ e^t\end{bmatrix}
s=\int\limits_{t=0}^{2\pi}|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\,
=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=
=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}e^{2\pi}

1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?

Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz

yz=\lambda \,
xz=\lambda \,
xy=\lambda \,

Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1). 2. mo) Paraméterezzük a felületet!

z=\frac{1}{xy}\,\quad\quad x,y\ne 0
\mathbf{r}(x,y)=\begin{bmatrix}x\\y\\ \frac{1}{xy}\end{bmatrix}

A koordinátavonalak érintői:

\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}=\begin{bmatrix}0\\1\\ -\frac{1}{x}\frac{1}{y^2}\end{bmatrix}, \frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}=\begin{bmatrix}1\\0\\ -\frac{1}{y}\frac{1}{x^2}\end{bmatrix}

A normális:

\mathbf{n}(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}
Személyes eszközök