A3 2009 vizsga 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Integrálátalakító tételek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex függvénytan) |
||
69. sor: | 69. sor: | ||
==Komplex függvénytan== | ==Komplex függvénytan== | ||
'''3. a)''' Számítsuk ki az | '''3. a)''' Számítsuk ki az | ||
− | :<math>f(z)=(1+z)^2(e^{\frac{1}{1+z}}-1)\,</math> | + | :<math>f(z)=(1+z)^2(e^{\frac{1}{1+z}}-1)\,</math> (illetve <math>g(z)=\frac{1}{\sin (-z)}</math>) |
− | -1 körüli Laurent-sorát, -1-beli reziduumát és a -1 körüli egységsugarú körön vett integrálját! | + | -1 (0) körüli Laurent-sorát, -1-beli (0-beli), reziduumát és a -1 (0) körüli egységsugarú körön vett integrálját! |
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>e^{\frac{1}{1+z}}=1+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...\,</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | :<math>f(z)=(1+z)^2(\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...)=</math> | ||
+ | Ez a Laurent-sor. Tehát | ||
+ | :<math>\mathrm{Res}_{z_0=-1}f=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}</math> | ||
+ | Ez az egyetlen szinguláris hely, ezért az integrál ekörül: | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z+1|=1}f(z)\,\mathrm{d}z=2\pi\frac{1}{6}=\frac{\pi}{3}</math> |
A lap 2010. január 9., 20:26-kori változata
Differenciálgeometria
1. a) Határozza meg az
görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!
Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:
Az érintő egyenes vektoregyenlete
1. b) Határozzuk meg a
- ,
györbeszakasz ívhosszát! Mennyi t, ha a [0,t] intervallumon a görbe ívhossza 1 egység?
Mo.
A második kérdésre a választ az ívhossz paraméteres felításával tudhatjuk meg. Az integrálási változó legyen egy t-től különböző betű, mondjuk τ vagy t' vagy u. Ekkor
Innen t:
1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?
Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz
Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1).
Integrálátalakító tételek
2. a) Számítsa ki a v(x,y,z)=(3xcos2z,3xez+3ysin2z,z) vektormező intregálját a hengerkoordinátákban megadott r(φ,r)=(r cos φ,r sin φ,1-r2), r∈[0,1], φ∈[0,2π] felületen!
Mo. A Gauss-tételt használjuk. A felület egy forgási paraboloid, melyet az [xy] síkkal lezárhatunk. Az [xy] sík mentén a vektortérnek csak [xy] irányú komponense van, tehát ennek a járuléka az integrálhoz 0. A divergencia:
A bezárt térrész paraméterezése:
A Jacobi-determináns hengrekoordinátázás esetén det J = r, így
2. b) Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Komplex függvénytan
3. a) Számítsuk ki az
- (illetve )
-1 (0) körüli Laurent-sorát, -1-beli (0-beli), reziduumát és a -1 (0) körüli egységsugarú körön vett integrálját!
Mo.
ezért
Ez a Laurent-sor. Tehát
Ez az egyetlen szinguláris hely, ezért az integrál ekörül: