A3 2009 vizsga 1

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Differenciálgeometria)
(Komplex függvénytan)
 
(egy szerkesztő 13 közbeeső változata nincs mutatva)
7. sor: 7. sor:
 
:<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}(t^2)^\dot{}\\ (\frac{1+t}{t})^\dot{}\\ (\frac{t}{t+1})^\dot{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2t\\ -\frac{1}{t^2}\\ \frac{1}{(t+1)^2}\end{bmatrix}</math>
 
:<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}(t^2)^\dot{}\\ (\frac{1+t}{t})^\dot{}\\ (\frac{t}{t+1})^\dot{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2t\\ -\frac{1}{t^2}\\ \frac{1}{(t+1)^2}\end{bmatrix}</math>
 
Az érintő egyenes vektoregyenlete
 
Az érintő egyenes vektoregyenlete
:<math>\mathbf{s}(u)=\mathbf{r}(1)+\dot{\mathbf{r}}(1)u=\begin{bmatrix}1\\2\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\\-\frac{1}{4}\end{bmatrix}u</math>
+
:<math>\mathbf{s}(u)=\mathbf{r}(1)+\dot{\mathbf{r}}(1)u=\begin{bmatrix}1\\2\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\\-\frac{1}{4}\end{bmatrix}u=\begin{bmatrix}1+2u\\2-u\\-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}u\end{bmatrix}</math>
 
'''1. b)''' Határozzuk meg a  
 
'''1. b)''' Határozzuk meg a  
 
:<math>\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,</math>, <math>t\in[0,2]</math>
 
:<math>\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,</math>, <math>t\in[0,2]</math>
györbeszakasz ívhosszát!
+
györbeszakasz ívhosszát! Mennyi t, ha a [0,t] intervallumon a görbe ívhossza 1 egység?
 +
 
 +
''Mo.''
 +
:<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}e^t\cos t-e^t\sin t \\e^t\sin t+e^t\cos t\\ e^t\end{bmatrix}</math>
 +
:<math>s=\int\limits_{t=0}^{2\pi}|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\,</math>
 +
:<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=</math>
 +
:<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}(e^{2\pi}-1)</math>
 +
 
 +
A második kérdésre a választ az ívhossz paraméteres felításával tudhatjuk meg. Az integrálási változó legyen egy t-től különböző betű, mondjuk &tau; vagy t' vagy ''u''. Ekkor
 +
:<math>s(t)=\int\limits_{\tau=0}^{t}|\dot{\mathbf{r}}(\tau)|\,\mathrm{d}\tau=\int\limits_{\tau=0}^{t}e^{\tau}\sqrt{3}\,\mathrm{d}\,\tau=\sqrt{3}(e^{t}-1)</math>
 +
Innen t:
 +
:<math>\sqrt{3}(e^{t}-1)=1\,</math>
 +
:<math>e^t=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\,</math>
 +
:<math>t=\mathrm{ln}\,(1+\frac{1}{\sqrt{3}})\,</math>
 +
 
 +
'''1. c)''' Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?
 +
 
 +
''Mo.'' 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen &lambda;, hogy grad F=&lambda;(1,1,1), azaz
 +
:<math>yz=\lambda \,</math>
 +
:<math>xz=\lambda \,</math>
 +
:<math>xy=\lambda \,</math>
 +
Ekkor x=y=z és &lambda;=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1).
 +
==Integrálátalakító tételek==
 +
'''2. a)''' Számítsa ki a '''v'''(x,y,z)=(3x<math>\cos^2z</math>,3x<math>e^z</math>+3y<math>\sin^2z</math>,z) vektormező intregálját a hengerkoordinátákban megadott '''r'''(&phi;,''r'')=(r cos &phi;,r sin &phi;,1-<math>r^2</math>), r&isin;[0,1], &phi;&isin;[0,2&pi;] felületen!
 +
 
 +
''Mo.'' A Gauss-tételt használjuk. A felület egy forgási paraboloid, melyet az [xy] síkkal lezárhatunk. Az [xy] sík mentén a vektortérnek csak [xy] irányú komponense van, tehát ennek a járuléka az integrálhoz 0. A divergencia:
 +
:<math>\mathrm{div}\,\mathbf{v}=4</math>
 +
A bezárt térrész paraméterezése:
 +
:<math>\{(r,\varphi, h)\mid 0\leq r\leq 1,0\leq \varphi\leq 2\pi, 0\leq h\leq 1-r^2\}</math>
 +
A Jacobi-determináns hengrekoordinátázás esetén det J = r, így
 +
:<math>\int\limits_{r=0}^{1}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{h=0}^{1-r^2} 4r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\,\varphi\,\mathrm{d}\,h=</math>
 +
<math>=\int\limits_{r=0}^{1}8\pi r (1-r^2)\,\mathrm{d}r=-4\pi\int\limits_{r=0}^{1}-2 r (1-r^2)\,\mathrm{d}r=-4\pi\frac{(1-r^2)^2}{2}|_0^1=+2\pi</math>
 +
 
 +
'''2. b)''' Integráljuk a 
 +
:<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math>
 +
vektormezőt az
 +
:<math>r(t)=(3\cos t,4\sin t,2)\quad\quad 0\leq t\leq \pi</math>
 +
görbe mentén!
 +
 
 +
''Mo.'' A vektormező rotációmentes:
 +
:<math>\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0</math>
 +
 
 +
Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v &equiv; 0 miatt létezik &Phi;, amivel grad &Phi; = v és
 +
:<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math>
 +
Ezért legyen
 +
:<math>\Phi(r):=\int\limits_{0}^{r}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\int\limits_{0}^{r}v\,\mathrm{d}r</math>
 +
:<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math>
 +
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
 +
:<math>s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)</math>
 +
Ezzel
 +
:<math>\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0 t\;\mathrm{d}t=</math>
 +
:<math>=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0^2y_0t^2-x_0z_0t+y_0x_0^2t^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0t\;\mathrm{d}t=</math>
 +
:<math>=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0x_0=x_0^2y_0+y_0z_0-x_0z_0</math>
 +
Ellenőrizzük!
 +
:<math>\frac{\partial\Phi}{\partial x}=2xy+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^2+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial z}=y-x</math>
 +
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
 +
:<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math>
 +
==Komplex függvénytan==
 +
'''3. a)''' Számítsuk ki az
 +
:<math>f(z)=(1+z)^2(e^{\frac{1}{1+z}}-1)\,</math>  (illetve <math>g(z)=\sin\frac{1}{-z^3}</math>)
 +
-1 (0) körüli Laurent-sorát, -1-beli (0-beli), reziduumát és a -1 (0) körüli egységsugarú körön vett integrálját és ott a szakadás jellegét!
 +
 
 +
''Mo.''
 +
:<math>e^{\frac{1}{1+z}}=1+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...\,</math>
 +
ezért
 +
:<math>f(z)=(1+z)^2(\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...)=</math>
 +
Ez a Laurent-sor. Tehát
 +
:<math>\mathrm{Res}_{z_0=-1}f=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}</math>
 +
Ez az egyetlen szinguláris hely, ezért az integrál ekörül:
 +
:<math>\int\limits_{|z+1|=1}f(z)\,\mathrm{d}z=2\pi\frac{1}{6}=\frac{\pi}{3}</math>
 +
a szakadás ''lényeges'' szingularitás, mert &infin; sok főtagvan a Laurent-sorban.
 +
:<math>g(z)=-\frac{1}{z^3}+\frac{1}{3!z^9}-...\,</math>
 +
Ez a Laurent-sor. Res g = 0, integrálja 0. A ''szakadás'' lényeges szingularitás, mert &infin; sok főtagvan a Laurent-sorban.

A lap jelenlegi, 2010. január 9., 19:31-kori változata

Differenciálgeometria

1. a) Határozza meg az

\mathbf{r}(t)=t^2\mathbf{i}+\frac{1+t}{t}\mathbf{j}+\frac{t}{t+1}\mathbf{k}\,

görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!

Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}(t^2)^\dot{}\\ (\frac{1+t}{t})^\dot{}\\ (\frac{t}{t+1})^\dot{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2t\\ -\frac{1}{t^2}\\ \frac{1}{(t+1)^2}\end{bmatrix}

Az érintő egyenes vektoregyenlete

\mathbf{s}(u)=\mathbf{r}(1)+\dot{\mathbf{r}}(1)u=\begin{bmatrix}1\\2\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\\-\frac{1}{4}\end{bmatrix}u=\begin{bmatrix}1+2u\\2-u\\-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}u\end{bmatrix}

1. b) Határozzuk meg a

\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,, t\in[0,2]

györbeszakasz ívhosszát! Mennyi t, ha a [0,t] intervallumon a görbe ívhossza 1 egység?

Mo.

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}e^t\cos t-e^t\sin t \\e^t\sin t+e^t\cos t\\ e^t\end{bmatrix}
s=\int\limits_{t=0}^{2\pi}|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\,
=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=
=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}(e^{2\pi}-1)

A második kérdésre a választ az ívhossz paraméteres felításával tudhatjuk meg. Az integrálási változó legyen egy t-től különböző betű, mondjuk τ vagy t' vagy u. Ekkor

s(t)=\int\limits_{\tau=0}^{t}|\dot{\mathbf{r}}(\tau)|\,\mathrm{d}\tau=\int\limits_{\tau=0}^{t}e^{\tau}\sqrt{3}\,\mathrm{d}\,\tau=\sqrt{3}(e^{t}-1)

Innen t:

\sqrt{3}(e^{t}-1)=1\,
e^t=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\,
t=\mathrm{ln}\,(1+\frac{1}{\sqrt{3}})\,

1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?

Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz

yz=\lambda \,
xz=\lambda \,
xy=\lambda \,

Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1).

Integrálátalakító tételek

2. a) Számítsa ki a v(x,y,z)=(3xcos2z,3xez+3ysin2z,z) vektormező intregálját a hengerkoordinátákban megadott r(φ,r)=(r cos φ,r sin φ,1-r2), r∈[0,1], φ∈[0,2π] felületen!

Mo. A Gauss-tételt használjuk. A felület egy forgási paraboloid, melyet az [xy] síkkal lezárhatunk. Az [xy] sík mentén a vektortérnek csak [xy] irányú komponense van, tehát ennek a járuléka az integrálhoz 0. A divergencia:

\mathrm{div}\,\mathbf{v}=4

A bezárt térrész paraméterezése:

\{(r,\varphi, h)\mid 0\leq r\leq 1,0\leq \varphi\leq 2\pi, 0\leq h\leq 1-r^2\}

A Jacobi-determináns hengrekoordinátázás esetén det J = r, így

\int\limits_{r=0}^{1}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{h=0}^{1-r^2} 4r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\,\varphi\,\mathrm{d}\,h=

=\int\limits_{r=0}^{1}8\pi r (1-r^2)\,\mathrm{d}r=-4\pi\int\limits_{r=0}^{1}-2 r (1-r^2)\,\mathrm{d}r=-4\pi\frac{(1-r^2)^2}{2}|_0^1=+2\pi

2. b) Integráljuk a

v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,

vektormezőt az

r(t)=(3\cos t,4\sin t,2)\quad\quad 0\leq t\leq \pi

görbe mentén!

Mo. A vektormező rotációmentes:

\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0

Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és

\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,

Ezért legyen

\Phi(r):=\int\limits_{0}^{r}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\int\limits_{0}^{r}v\,\mathrm{d}r
v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,

Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:

s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)

Ezzel

\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0 t\;\mathrm{d}t=
=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0^2y_0t^2-x_0z_0t+y_0x_0^2t^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0t\;\mathrm{d}t=
=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0x_0=x_0^2y_0+y_0z_0-x_0z_0

Ellenőrizzük!

\frac{\partial\Phi}{\partial x}=2xy+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^2+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial z}=y-x

Ezzel a görbére a vonalintegrál:

Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12

Komplex függvénytan

3. a) Számítsuk ki az

f(z)=(1+z)^2(e^{\frac{1}{1+z}}-1)\, (illetve g(z)=\sin\frac{1}{-z^3})

-1 (0) körüli Laurent-sorát, -1-beli (0-beli), reziduumát és a -1 (0) körüli egységsugarú körön vett integrálját és ott a szakadás jellegét!

Mo.

e^{\frac{1}{1+z}}=1+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...\,

ezért

f(z)=(1+z)^2(\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...)=

Ez a Laurent-sor. Tehát

\mathrm{Res}_{z_0=-1}f=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}

Ez az egyetlen szinguláris hely, ezért az integrál ekörül:

\int\limits_{|z+1|=1}f(z)\,\mathrm{d}z=2\pi\frac{1}{6}=\frac{\pi}{3}

a szakadás lényeges szingularitás, mert ∞ sok főtagvan a Laurent-sorban.

g(z)=-\frac{1}{z^3}+\frac{1}{3!z^9}-...\,

Ez a Laurent-sor. Res g = 0, integrálja 0. A szakadás lényeges szingularitás, mert ∞ sok főtagvan a Laurent-sorban.

Személyes eszközök