A3 2009 vizsga 1

Differenciálgeometria

1. a) Határozza meg az

$\mathbf{r}(t)=t^2\mathbf{i}+\frac{1+t}{t}\mathbf{j}+\frac{t}{t+1}\mathbf{k}\,$

görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!

Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:

$\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}(t^2)^\dot{}\\ (\frac{1+t}{t})^\dot{}\\ (\frac{t}{t+1})^\dot{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2t\\ -\frac{1}{t^2}\\ \frac{1}{(t+1)^2}\end{bmatrix}$

Az érintő egyenes vektoregyenlete

$\mathbf{s}(u)=\mathbf{r}(1)+\dot{\mathbf{r}}(1)u=\begin{bmatrix}1\\2\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\\-\frac{1}{4}\end{bmatrix}u=\begin{bmatrix}1+2u\\2-u\\-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}u\end{bmatrix}$

1. b) Határozzuk meg a

$\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,$, $t\in[0,2]$

györbeszakasz ívhosszát! Mennyi t, ha a [0,t] intervallumon a görbe ívhossza 1 egység?

Mo.

$\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}e^t\cos t-e^t\sin t \\e^t\sin t+e^t\cos t\\ e^t\end{bmatrix}$

$s=\int\limits_{t=0}^{2\pi}|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\,$

$=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=$

$=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}(e^{2\pi}-1)$

A második kérdésre a választ az ívhossz paraméteres felításával tudhatjuk meg. Az integrálási változó legyen egy t-től különböző betű, mondjuk τ vagy t' vagy u. Ekkor

$s(t)=\int\limits_{\tau=0}^{t}|\dot{\mathbf{r}}(\tau)|\,\mathrm{d}\tau=\int\limits_{\tau=0}^{t}e^{\tau}\sqrt{3}\,\mathrm{d}\,\tau=\sqrt{3}(e^{t}-1)$

Innen t:

$\sqrt{3}(e^{t}-1)=1\,$

$e^t=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\,$

$t=\mathrm{ln}\,(1+\frac{1}{\sqrt{3}})\,$

1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?

Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz

$yz=\lambda \,$

$xz=\lambda \,$

$xy=\lambda \,$

Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1).