A3 2016 gyak 2
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egyenlet megoldás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex egyenlet) |
||
45. sor: | 45. sor: | ||
:<math>\frac{i}{z}=\ln 2 +i\frac{\pi}{6}+2\pi i k</math> | :<math>\frac{i}{z}=\ln 2 +i\frac{\pi}{6}+2\pi i k</math> | ||
:<math>z=\frac{1}{\frac{\ln 2}{i} +\frac{\pi}{6}+2\pi i k}</math> | :<math>z=\frac{1}{\frac{\ln 2}{i} +\frac{\pi}{6}+2\pi i k}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2. b) ''' Oldjuk meg a | ||
+ | :<math>\cos z=2i</math> | ||
+ | egyenletet! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\frac{e^z+e^{-z}}{2}=2i</math> | ||
+ | :<math>e^z+e^{-z}=4i\,</math> | ||
+ | :<math>(e^z)^2-4ie^z+1=0\,</math> | ||
+ | :<math>w=e^z\,</math> | ||
+ | :<math>w^2-4iw+1=0\,</math> | ||
+ | :<math>w_{1,2}=\frac{4i\pm\sqrt{-16-4}}{2}=\frac{4i\pm\sqrt{-20}}{2}=\frac{4i\pm \sqrt{5}2i}{2}=2i\pm\sqrt{5}i=i(2\pm\sqrt{5})</math> |
A lap 2016. május 2., 20:39-kori változata
Laurent-sorfejtés
1. Határozzuk meg az
függvény 1 körüli Laurent-sorait!
Mo. Mivel z-2i-(z-4)=-2i+4, ezért
és valóban, mert
azaz
A sort a z0 = 1 körül kell sorba fejteni, azaz a z − 1 hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:
Két szingularitás: z = 4 és z = 2i. Ezeknek a távolsága a középponttól:</math> |1-4|=3 és . Tehát három lehetőségünk van:
- I. A körlap,
melyen belül a sor reguláris és z − 1-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "z − 1 melletti tagból csinálunk mértani sort":
Alkalmazva a
formulát, ha | q | < 1 a
- és
hányadosokra kapjuk:
- II. A körgyűrű,
melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":
Tehát itt:
- Végül a |z-1|>3 körgyűrűn
HF Fejtsük sorba a 0 körül az
függvényt!
Komplex egyenlet
2. a) Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo.
mert a szöge 30 fok, a hossza 2. Ezért az egyenlet:
azaz
2. b) Oldjuk meg a
- cosz = 2i
egyenletet!
Mo.