Bolzano–Weierstrass-tételkör

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Sorozatkompaktság és B--W-tétel)
(→Borel–Lebesgue-tétellel)
31. sor: 31. sor:
 
Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.
 
Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.
  
−
===Borel–Lebesgue-tétellel===
+
====Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel====
  
−
Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az ''u'' sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden ''n''-re: <math>b_n</math> = min{ i > n | |a_i-u| < &delta;<math>_n</math>}, ahol &delta;<math>_n</math> egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.
+
Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az ''u'' sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden ''n''-re:
 +
:<math>b_n = \min\{ i > n \mid |a_i-u| < \delta_n\}</math>
 +
ahol (&delta;<sub>n</sub>) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.
  
 
Legyen <math>[a,b]</math> olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy <math>a_n</math>-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden <math>x</math> &isin; <math>[a,b]</math>-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az <math>[a,b]</math> intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a [[Borel–Lebesgue-tétel]] miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet <math>[a,b]</math>-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind <math>[a,b]</math>-ben van.
 
Legyen <math>[a,b]</math> olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy <math>a_n</math>-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden <math>x</math> &isin; <math>[a,b]</math>-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az <math>[a,b]</math> intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a [[Borel–Lebesgue-tétel]] miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet <math>[a,b]</math>-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind <math>[a,b]</math>-ben van.

A lap 2008. május 21., 10:05-kori változata

A Bolzano--Weierstrass-tétel és a hozzá kapcsolódó állítások Rn jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak.

Tartalomjegyzék

Sorozatkompaktság és B--W-tétel

Egy K halmaz sorozatkompakt Rn-ben, ha minden benne a K-ban haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:

K sorozatkompakt
\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}
\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K

A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel Rn-ben:

Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.

Az egyváltozós eset

Bizonyítás csúcselemmel

Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.

Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. ak-t csúcselemnek nevezzük, ha minden n \geq k esetén a_n \leq a_k. (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)

Ekkor két eset lehetséges:

  1. Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha n_1 < n_2 < n_3 < \ldots indexek, melyekre a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
  2. Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik n0, hogy minden n > n0 esetén an nem csúcselem.
  • De a_{n_0} nem csúcselem, vagyis létezik n1 > n0, hogy a_{n_1} > a_{n_0}.
  • De a_{n_1} nem csúcselem, vagyis létezik n2 > n1, hogy a_{n_2} > a_{n_1} stb.

Ekkor viszont a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots nyilván szigorúan monoton növő sorozat.

Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.

Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel

Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az u sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden n-re:

b_n = \min\{ i > n \mid |a_i-u| < \delta_n\}

ahol (δn) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.

Legyen [a,b] olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy an-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden x ∈ [a,b]-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az [a,b] intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet [a,b]-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind [a,b]-ben van.

Többváltozós eset

Bizonyítás. Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni.


Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

Heine-Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.

Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis \mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})} a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:

||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}

Ekkor a

H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}

"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok \mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})} terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező \mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})} tér bír jelentőséggel.

A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Bolzano%E2%80%93Weierstrass-t%C3%A9telk%C3%B6r&oldid=3618”
Személyes eszközök