Bolzano–Weierstrass-tételkör

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Többváltozós eset)
(Sorozatkompaktság és B–W-tétel)
 
(egy szerkesztő 8 közbeeső változata nincs mutatva)
2. sor: 2. sor:
  
 
==Sorozatkompaktság és B–W-tétel==
 
==Sorozatkompaktság és B–W-tétel==
Egy ''K'' halmaz '''sorozatkompakt''' '''R'''<sup>n</sup>-ben, ha minden benne a ''K''-ban haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:  
+
A Bolzano–Weierstrass-tétel az úgy nevezett sorozatkompaktság fogalmával kapcsolatban kulcsfontosságú tényre mutat rá. Az említett fogalom a következő.
 +
 +
Egy ''K'' részhalmaz '''sorozatkompakt''' '''R'''<sup>N</sup>-ben  
 +
(vagy még általánosabban egy ''M'' metrikus térben), ha minden a ''K''-ban haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:  
 
:''K'' sorozatkompakt  
 
:''K'' sorozatkompakt  
 
:<math>\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}</math>  
 
:<math>\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}</math>  
 
:<math>\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K </math>
 
:<math>\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K </math>
  
A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel '''R'''<sup>n</sup>-ben:
+
A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel '''R'''<sup>N</sup>-ben:
 
   
 
   
 
'''<big>B</big>OLZANO–<big>W</big>EIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL.''' Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.  
 
'''<big>B</big>OLZANO–<big>W</big>EIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL.''' Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.  
13. sor: 16. sor:
 
Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.
 
Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.
  
===Az egyváltozós eset===
+
== Kompakt halmazok és H–B-tétel==
 +
A metrikus terek analízisének egyik jelentő eredménye, hogy a sorozatkompaktság és a topologikus kompaktság fogalma egybeeseik. Alább a topologikus kompaktságal és az őzt motiváló tétellel, a Heine–Borel-tétellel (vagy más elnevezéssel Borel–Lebesgue-tétellel) foglalkozunk.
  
====Bizonyítás csúcselemmel====
+
'''Kompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t.
  
Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható [[monoton]] [[részsorozat]].
+
'''<big>H</big>EINE–<big>B</big>OREL-TÉTEL.''' '''R'''<sup>N</sup>-ben korlátos és zárt halmaz kompakt.
  
Ehhez először vezessük be a ''csúcselem'' fogalmát. <math>a_k</math>-t csúcselemnek nevezzük, ha minden <math>n \geq k</math> esetén <math>a_n \leq a_k</math>. (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)
+
===Cantor-tétellel===
 +
A [[Cantor-axióma|Cantor-féle közösrész tétel]] egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha  <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> '''R'''-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden ''&alpha;'', ''&beta;'' &isin; ''A'' indexre létezik olyan ''&gamma;'' &isin; ''A'' index, hogy F<sub>''&gamma;''</sub> &sube; F<sub>''&alpha;''</sub>&cap;F</sub>''&beta;''</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer metszete nem üres.
  
Ekkor két eset lehetséges:
+
Jelölje ''A'' az <math>I</math> véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges ''&alpha;'' &isin; ''A''-ra:
# [[Végtelen]] sok csúcselem van a sorozatban. Ha <math>n_1 < n_2 < n_3 < \ldots</math> indexek, melyekre <math>a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots</math> csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
+
:<math>F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i</math>
# Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik <math>n_0</math>, hogy minden <math>n>n_0</math> esetén <math>a_n</math> nem csúcselem.
+
Ekkor a <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt '''R'''-ben és tetszőleges ''&alpha;'', ''&beta;'' &isin; ''A''-ra a ''&gamma;'' := ''&alpha;'' U ''&beta;'' elem olyan, hogy F<sub>''&gamma;''</sub> &sube; F<sub>''&alpha;''</sub>&cap;F</sub>''&beta;''</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan ''&alpha;''&isin;''A'', hogy F<sub>''&alpha;''</sub> &ne; &empty;, ugyanis ekkor
*De <math>a_{n_0}</math> nem csúcselem, vagyis létezik <math>n_1 > n_0</math>, hogy <math>a_{n_1} > a_{n_0}</math>.
+
:<math>K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i</math>
*De <math>a_{n_1}</math> nem csúcselem, vagyis létezik <math>n_2 > n_1</math>, hogy <math>a_{n_2} > a_{n_1}</math> stb.
+
teljesülne.
  
Ekkor viszont <math>a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots</math> nyilván szigorúan monoton növő sorozat.
+
Ha <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy
 +
:<math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset</math>
 +
ami ellentmondás, hiszen  <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy
 +
: <math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset</math>
  
Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.
+
Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''&alpha;''&isin;''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.
  
====Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel====
+
===Bolzano–Weierstrass-tétellel===
 +
Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>&infin;</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha &Omega;<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha &Omega;<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> &isin; ''K'' \ &Omega;<sub>1</sub>. Ha &Omega;<sub>1</sub> &cup; &Omega;<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> &isin; ''K'' \ (&Omega;<sub>1</sub> &cup; &Omega;<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' &isin; ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>&infin;</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy &Omega;<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van &Omega;<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában &Omega;<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van.
  
Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az ''u'' sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden ''n''-re:
+
Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>&infin;</sup> sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).
:<math>b_n = \min\{ i > n \mid |a_i-u| < \delta_n\}</math>
+
ahol (&delta;<sub>n</sub>) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.
+
 
+
Legyen <math>[a,b]</math> olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy <math>a_n</math>-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden <math>x</math> &isin; <math>[a,b]</math>-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az <math>[a,b]</math> intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a [[Borel–Lebesgue-tétel]] miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet <math>[a,b]</math>-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind <math>[a,b]</math>-ben van.
+
 
+
===Többváltozós eset===
+
 
+
====Bizonyítás====
+
A csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk csúcselemekre, mert nincs '''R'''<sup>n</sup>-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Viszont komponensenként csúcselemekre hivatkozni sem alkalmas.
+
 
+
Egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva azonban már működik.
+
 
+
== Kompakt halmazok és H–B-tétel==
+
 
+
'''Kompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t.  
+
  
'''Heine–Borel-tétel.''' Korlátos és zárt halmaz kompakt.
+
=== Kapcsolatok===
  
 
'''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
 
'''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

A lap jelenlegi, 2008. május 22., 09:57-kori változata

A Bolzano–Weierstrass-tételkör és a hozzá kapcsolódó állítások Rn jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak.

Tartalomjegyzék

Sorozatkompaktság és B–W-tétel

A Bolzano–Weierstrass-tétel az úgy nevezett sorozatkompaktság fogalmával kapcsolatban kulcsfontosságú tényre mutat rá. Az említett fogalom a következő.

Egy K részhalmaz sorozatkompakt RN-ben (vagy még általánosabban egy M metrikus térben), ha minden a K-ban haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:

K sorozatkompakt
\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}
\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K

A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel RN-ben:

BOLZANO–WEIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.

Kompakt halmazok és H–B-tétel

A metrikus terek analízisének egyik jelentő eredménye, hogy a sorozatkompaktság és a topologikus kompaktság fogalma egybeeseik. Alább a topologikus kompaktságal és az őzt motiváló tétellel, a Heine–Borel-tétellel (vagy más elnevezéssel Borel–Lebesgue-tétellel) foglalkozunk.

Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

HEINE–BOREL-TÉTEL. RN-ben korlátos és zárt halmaz kompakt.

Cantor-tétellel

A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, βA indexre létezik olyan γA index, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} halmazrendszer metszete nem üres.

Jelölje A az I véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges αA-ra:

F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i

Ekkor a \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, βA-ra a γ := α U β elem olyan, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan αA, hogy Fα ≠ ∅, ugyanis ekkor

K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i

teljesülne.

Ha \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy

\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset

ami ellentmondás, hiszen \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy

\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset

Tehát van \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező αA-val a \mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}} a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.

Bolzano–Weierstrass-tétellel

Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ωi)i=1. Definiálunk egy K-ban haladó (xn) sorozatot. Ha Ω1 lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω1 nem fedi le K-t, legyen x1K \ Ω1. Ha Ω1 ∪ Ω2 már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x2K \ (Ω1 ∪ Ω2). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ωi)i=1n már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (xn) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne uK sűrűsödési pontja. Mivel (Ωi)i=1 lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ωm nyílt halmaz. u-nak van Ωm-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (xn)-beli tag. (xn) konstrukciója szerint minden n-re (Ωi)i=1n-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ωm-ben is végtelen sok tag van.

Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ωi)i=1 sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).

Kapcsolatok

Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis \mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})} a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:

||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}

Ekkor a

H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}

"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok \mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})} terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező \mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})} tér bír jelentőséggel.

Személyes eszközök