Bolzano–Weierstrass-tételkör
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Többváltozós eset) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Bizonyítás) |
||
42. sor: | 42. sor: | ||
====Bizonyítás==== | ====Bizonyítás==== | ||
− | A csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk | + | '''Megjegyzések.''' A csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs '''R'''<sup>n</sup>-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy '''R'''<sup>2</sup>-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok ''közös'' indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres. |
+ | |||
− | + | ||
+ | A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő. | ||
== Kompakt halmazok és H–B-tétel== | == Kompakt halmazok és H–B-tétel== |
A lap 2008. május 21., 11:52-kori változata
A Bolzano–Weierstrass-tételkör és a hozzá kapcsolódó állítások Rn jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak.
Tartalomjegyzék |
Sorozatkompaktság és B–W-tétel
Egy K halmaz sorozatkompakt Rn-ben, ha minden benne a K-ban haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:
- K sorozatkompakt
A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel Rn-ben:
BOLZANO–WEIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.
Az egyváltozós eset
Bizonyítás csúcselemmel
Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.
Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. ak-t csúcselemnek nevezzük, ha minden esetén . (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)
Ekkor két eset lehetséges:
- Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha indexek, melyekre csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
- Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik n0, hogy minden n > n0 esetén an nem csúcselem.
- De nem csúcselem, vagyis létezik n1 > n0, hogy .
- De nem csúcselem, vagyis létezik n2 > n1, hogy stb.
Ekkor viszont nyilván szigorúan monoton növő sorozat.
Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.
Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel
Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az u sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden n-re:
ahol (δn) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.
Legyen [a,b] olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy an-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden x ∈ [a,b]-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az [a,b] intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet [a,b]-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind [a,b]-ben van.
Többváltozós eset
Bizonyítás
Megjegyzések. A csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs Rn-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy R2-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok közös indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres.
A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő.
Kompakt halmazok és H–B-tétel
Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
Heine–Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.
Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
Ekkor a
"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező tér bír jelentőséggel.