Bolzano–Weierstrass-tételkör

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Kompakt halmazok és H–B-tétel)
(Sorozatkompaktság és B–W-tétel)
 
15. sor: 15. sor:
  
 
Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.
 
Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.
 
===Az egyváltozós eset===
 
 
====Bizonyítás csúcselemmel====
 
 
Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható [[monoton]] [[részsorozat]].
 
 
Ehhez először vezessük be a ''csúcselem'' fogalmát. <math>a_k</math>-t csúcselemnek nevezzük, ha minden <math>n \geq k</math> esetén <math>a_n \leq a_k</math>. (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)
 
 
Ekkor két eset lehetséges:
 
# [[Végtelen]] sok csúcselem van a sorozatban. Ha <math>n_1 < n_2 < n_3 < \ldots</math> indexek, melyekre <math>a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots</math> csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
 
# Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik <math>n_0</math>, hogy minden <math>n>n_0</math> esetén <math>a_n</math> nem csúcselem.
 
*De <math>a_{n_0}</math> nem csúcselem, vagyis létezik <math>n_1 > n_0</math>, hogy <math>a_{n_1} > a_{n_0}</math>.
 
*De <math>a_{n_1}</math> nem csúcselem, vagyis létezik <math>n_2 > n_1</math>, hogy <math>a_{n_2} > a_{n_1}</math> stb.
 
 
Ekkor viszont <math>a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots</math> nyilván szigorúan monoton növő sorozat.
 
 
Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.
 
 
====Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel====
 
 
Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az ''u'' sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden ''n''-re:
 
:<math>b_n = \min\{ i > n \mid |a_i-u| < \delta_n\}</math>
 
ahol (&delta;<sub>n</sub>) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.
 
 
Legyen <math>[a,b]</math> olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy <math>a_n</math>-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden <math>x</math> &isin; <math>[a,b]</math>-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az <math>[a,b]</math> intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a [[Borel–Lebesgue-tétel]] miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet <math>[a,b]</math>-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind <math>[a,b]</math>-ben van.
 
 
===Többváltozós eset===
 
 
====Bizonyítás====
 
'''Megjegyzések.''' A csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs '''R'''<sup>N</sup>-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy '''R'''<sup>2</sup>-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok ''közös'' indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres.
 
 
 
A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat  kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő.
 
 
'''Bizonyítás.''' Legyen
 
:<math>(a_n)=(a_n^{(1)}, a_n^{(2)}, ..., a_n^{(N)})\in (\mathbf{R}^N)^{\mathbf{Z}^+}</math>
 
egy ''N'' komponensű sorozat, mely korlátos '''R'''<sup>N</sup>-ben. Ekkor a komponenssorozatok is korlátosak. Az egydimenziós B–W-tétel szerint az 
 
:<math>(a_n^{(1)})</math>
 
sorozathoz létezik &sigma;<sub>1</sub> indexsorozat úgy, hogy az
 
:<math>(a_n^{(1)})\circ\sigma_1</math>
 
konvergens részsorozat. Hasonlóképpen, de a
 
:<math>(a_n^{(2)})\circ\sigma_1</math>
 
sorozatnak is van
 
:<math>(a_n^{(2)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2</math>
 
konvergens részsorozata. Megállapíthatjuk, hogy a
 
:<math>(a_n^{(1)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2</math>
 
sorozat szintén konvergens, mert konvergens sorozat részsorozata. Ugyanígy léteznek &sigma;<sub>1</sub>, &sigma;<sub>2</sub>, ..., &sigma;<sub>N</sub> indexsorozatok, hogy a
 
:<math>(a_n^{(1)})\circ\sigma_1</math>
 
:<math>(a_n^{(2)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2</math>
 
:<math>\vdots </math>
 
:<math>(a_n^{(N)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N</math>
 
sorozatok mind konvergensek és így tetszőleges k=1...N-re
 
:<math>(a_n^{(k)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N</math> 
 
is az, ami pontosan azt jelenti, hogy az 
 
:<math>(a_n)\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N</math>
 
sorozat komponensenként konvergens, azaz konvergens. A
 
:<math>\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N</math>
 
tehát olyan indexsorozat, mely konvergens részsorozatot választ ki <math>(a_n)</math>-ből.
 
  
 
== Kompakt halmazok és H–B-tétel==
 
== Kompakt halmazok és H–B-tétel==

A lap jelenlegi, 2008. május 22., 09:57-kori változata

A Bolzano–Weierstrass-tételkör és a hozzá kapcsolódó állítások Rn jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak.

Tartalomjegyzék

Sorozatkompaktság és B–W-tétel

A Bolzano–Weierstrass-tétel az úgy nevezett sorozatkompaktság fogalmával kapcsolatban kulcsfontosságú tényre mutat rá. Az említett fogalom a következő.

Egy K részhalmaz sorozatkompakt RN-ben (vagy még általánosabban egy M metrikus térben), ha minden a K-ban haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:

K sorozatkompakt
\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}
\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K

A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel RN-ben:

BOLZANO–WEIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.

Kompakt halmazok és H–B-tétel

A metrikus terek analízisének egyik jelentő eredménye, hogy a sorozatkompaktság és a topologikus kompaktság fogalma egybeeseik. Alább a topologikus kompaktságal és az őzt motiváló tétellel, a Heine–Borel-tétellel (vagy más elnevezéssel Borel–Lebesgue-tétellel) foglalkozunk.

Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

HEINE–BOREL-TÉTEL. RN-ben korlátos és zárt halmaz kompakt.

Cantor-tétellel

A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, βA indexre létezik olyan γA index, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} halmazrendszer metszete nem üres.

Jelölje A az I véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges αA-ra:

F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i

Ekkor a \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, βA-ra a γ := α U β elem olyan, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan αA, hogy Fα ≠ ∅, ugyanis ekkor

K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i

teljesülne.

Ha \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy

\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset

ami ellentmondás, hiszen \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy

\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset

Tehát van \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező αA-val a \mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}} a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.

Bolzano–Weierstrass-tétellel

Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ωi)i=1. Definiálunk egy K-ban haladó (xn) sorozatot. Ha Ω1 lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω1 nem fedi le K-t, legyen x1K \ Ω1. Ha Ω1 ∪ Ω2 már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x2K \ (Ω1 ∪ Ω2). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ωi)i=1n már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (xn) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne uK sűrűsödési pontja. Mivel (Ωi)i=1 lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ωm nyílt halmaz. u-nak van Ωm-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (xn)-beli tag. (xn) konstrukciója szerint minden n-re (Ωi)i=1n-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ωm-ben is végtelen sok tag van.

Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ωi)i=1 sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).

Kapcsolatok

Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis \mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})} a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:

||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}

Ekkor a

H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}

"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok \mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})} terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező \mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})} tér bír jelentőséggel.

Személyes eszközök