Bolzano–Weierstrass-tételkör

A Bolzano–Weierstrass-tételkör és a hozzá kapcsolódó állítások Rⁿ jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak.

Sorozatkompaktság és B–W-tétel

A Bolzano–Weierstrass-tétel az úgy nevezett sorozatkompaktság fogalmával kapcsolatban kulcsfontosságú tényre mutat rá. Az említett fogalom a következő.

Egy K részhalmaz sorozatkompakt R^N-ben (vagy még általánosabban egy M metrikus térben), ha minden a K-ban haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:

K sorozatkompakt

$\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}$

$\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K$

A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel R^N-ben:

BOLZANO–WEIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.

Az egyváltozós eset

Bizonyítás csúcselemmel

Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.

Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. a_k-t csúcselemnek nevezzük, ha minden $n \geq k$ esetén $a_n \leq a_k$. (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)

Ekkor két eset lehetséges:

1. Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha $n_1 < n_2 < n_3 < \ldots$ indexek, melyekre $a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots$ csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
2. Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik n₀, hogy minden n > n₀ esetén a_n nem csúcselem.

• De $a_{n_0}$ nem csúcselem, vagyis létezik n₁ > n₀, hogy $a_{n_1} > a_{n_0}$.
• De $a_{n_1}$ nem csúcselem, vagyis létezik n₂ > n₁, hogy $a_{n_2} > a_{n_1}$ stb.

Ekkor viszont $a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots$ nyilván szigorúan monoton növő sorozat.

Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.

Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel

Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az u sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden n-re:

$b_n = \min\{ i > n \mid |a_i-u| < \delta_n\}$

ahol (δ_n) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.

Legyen [a,b] olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy a_n-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden x ∈ [a,b]-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az [a,b] intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet [a,b]-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind [a,b]-ben van.

Többváltozós eset

Bizonyítás

Megjegyzések. A csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs R^N-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy R²-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok közös indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres.

A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő.

Bizonyítás. Legyen

$(a_n)=(a_n^{(1)}, a_n^{(2)}, ..., a_n^{(N)})\in (\mathbf{R}^N)^{\mathbf{Z}^+}$

egy N komponensű sorozat, mely korlátos R^N-ben. Ekkor a komponenssorozatok is korlátosak. Az egydimenziós B–W-tétel szerint az

$(a_n^{(1)})$

sorozathoz létezik σ₁ indexsorozat úgy, hogy az

$(a_n^{(1)})\circ\sigma_1$

konvergens részsorozat. Hasonlóképpen, de a

$(a_n^{(2)})\circ\sigma_1$

sorozatnak is van

$(a_n^{(2)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2$

konvergens részsorozata. Megállapíthatjuk, hogy a

$(a_n^{(1)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2$

sorozat szintén konvergens, mert konvergens sorozat részsorozata. Ugyanígy léteznek σ₁, σ₂, ..., σ_N indexsorozatok, hogy a

$(a_n^{(1)})\circ\sigma_1$

$(a_n^{(2)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2$

$\vdots$

$(a_n^{(N)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N$

sorozatok mind konvergensek és így tetszőleges k=1...N-re

$(a_n^{(k)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N$

is az, ami pontosan azt jelenti, hogy az

$(a_n)\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N$

sorozat komponensenként konvergens, azaz konvergens. A

$\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N$

tehát olyan indexsorozat, mely konvergens részsorozatot választ ki (a_n)-ből.

Kompakt halmazok és H–B-tétel

A metrikus terek analízisének egyik jelentő eredménye, hogy a sorozatkompaktság és a topologikus kompaktság fogalma egybeeseik. Alább a topologikus kompaktságal és az őzt motiváló tétellel, a Heine–Borel-tétellel (vagy más elnevezéssel Borel–Lebesgue-tétellel) foglalkozunk.

Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

HEINE–BOREL-TÉTEL. R^N-ben korlátos és zárt halmaz kompakt.

Cantor-tétellel

A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, β ∈ A indexre létezik olyan γ ∈ A index, hogy F_γ ⊆ F_α∩F</sub>β</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ halmazrendszer metszete nem üres.

Jelölje A az I véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges α ∈ A-ra:

$F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i$

Ekkor a $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, β ∈ A-ra a γ := α U β elem olyan, hogy F_γ ⊆ F_α∩F</sub>β</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan α∈A, hogy F_α ≠ ∅, ugyanis ekkor

$K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i$

teljesülne.

Ha $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy

$\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset$

ami ellentmondás, hiszen $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy

$\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset$

Tehát van $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező α∈A-val a $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}$ a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.

Bolzano–Weierstrass-tétellel

Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω_i)_i=1^∞. Definiálunk egy K-ban haladó (x_n) sorozatot. Ha Ω₁ lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω₁ nem fedi le K-t, legyen x₁ ∈ K \ Ω₁. Ha Ω₁ ∪ Ω₂ már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x₂ ∈ K \ (Ω₁ ∪ Ω₂). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ω_i)_i=1ⁿ már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (x_n) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ K sűrűsödési pontja. Mivel (Ω_i)_i=1^∞ lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ω_m nyílt halmaz. u-nak van Ω_m-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (x_n)-beli tag. (x_n) konstrukciója szerint minden n-re (Ω_i)_i=1ⁿ-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω_m-ben is végtelen sok tag van.

Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ω_i)_i=1^∞ sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).

Kapcsolatok

Rⁿ-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Rⁿ véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis $\mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})}$ a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:

$||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}$

Ekkor a

$H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}$

"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok $\mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})}$ terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező $\mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})}$ tér bír jelentőséggel.