Bolzano–Weierstrass-tételkör

A Bolzano–Weierstrass-tételkör és a hozzá kapcsolódó állítások Rⁿ jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak.

Sorozatkompaktság és B–W-tétel

Egy K halmaz sorozatkompakt Rⁿ-ben, ha minden benne a K-ban haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:

K sorozatkompakt

$\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}$

$\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K$

A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel Rⁿ-ben:

BOLZANO–WEIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.

Az egyváltozós eset

Bizonyítás csúcselemmel

Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.

Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. a_k-t csúcselemnek nevezzük, ha minden $n \geq k$ esetén $a_n \leq a_k$. (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)

Ekkor két eset lehetséges:

1. Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha $n_1 < n_2 < n_3 < \ldots$ indexek, melyekre $a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots$ csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
2. Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik n₀, hogy minden n > n₀ esetén a_n nem csúcselem.

• De $a_{n_0}$ nem csúcselem, vagyis létezik n₁ > n₀, hogy $a_{n_1} > a_{n_0}$.
• De $a_{n_1}$ nem csúcselem, vagyis létezik n₂ > n₁, hogy $a_{n_2} > a_{n_1}$ stb.

Ekkor viszont $a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots$ nyilván szigorúan monoton növő sorozat.

Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.

Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel

Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az u sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden n-re:

$b_n = \min\{ i > n \mid |a_i-u| < \delta_n\}$

ahol (δ_n) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.

Legyen [a,b] olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy a_n-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden x ∈ [a,b]-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az [a,b] intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet [a,b]-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind [a,b]-ben van.

Többváltozós eset

Bizonyítás

A csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk csúcselemekre, mert nincs Rⁿ-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Viszont komponensenként csúcselemekre hivatkozni sem alkalmas.

Egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva azonban már működik.

Kompakt halmazok és H–B-tétel

Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

Heine–Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.

Rⁿ-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.

Rⁿ véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis $\mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})}$ a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:

$||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}$

Ekkor a

$H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}$

"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok $\mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})}$ terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező $\mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})}$ tér bír jelentőséggel.