Borel–Lebesgue-tétel
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Cantor-tétellel) |
||
9. sor: | 9. sor: | ||
== Bizonyítás == | == Bizonyítás == | ||
===Cantor-tétellel=== | ===Cantor-tétellel=== | ||
− | A [[Cantor-axióma|Cantor-féle közösrész tétel]] egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> '''R'''-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden ''α'', ''β'' ∈ ''A'' indexre létezik olyan ''γ'' ∈ ''A'' index, hogy F<sub>''γ''</sub> ⊆ F<sub>''α''</sub>∩F< | + | A [[Cantor-axióma|Cantor-féle közösrész tétel]] egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> '''R'''-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden ''α'', ''β'' ∈ ''A'' indexre létezik olyan ''γ'' ∈ ''A'' index, hogy F<sub>''γ''</sub> ⊆ F<sub>''α''</sub>∩F<sub>''β''</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer metszete nem üres. |
Jelölje ''A'' az <math>I</math> véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges ''α'' ∈ ''A''-ra: | Jelölje ''A'' az <math>I</math> véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges ''α'' ∈ ''A''-ra: | ||
23. sor: | 23. sor: | ||
Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''α''∈''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big> | Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''α''∈''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big> | ||
+ | |||
===Bolzano–Weierstrass-tétellel=== | ===Bolzano–Weierstrass-tétellel=== | ||
Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha Ω<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> ∈ ''K'' \ Ω<sub>1</sub>. Ha Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> ∈ ''K'' \ (Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' ∈ ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy Ω<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van Ω<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van. | Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha Ω<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> ∈ ''K'' \ Ω<sub>1</sub>. Ha Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> ∈ ''K'' \ (Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' ∈ ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy Ω<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van Ω<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van. |
A lap 2008. június 13., 18:32-kori változata
A Borel–Lebesgue lefedési tétel vagy Heine–Borel-tétel a matematikai analízis egy a zárt, korlátos intervallumok lényeges tulajdonságára rámutató tétel, mely a topologikus terek elméletében a kompakt halmaz fogalmának motivációjául szolgál.
Tartalomjegyzék |
A tétel
Tétel – (Dirichlet 1862, Heine 1872) – Ha K ⊆ R korlátos és zárt halmaz és K-nak nyílt lefedése, akkor ebből kiválasztható véges sok elem, mely még mindig lefedi K-t.
(A K nyílt lefedésén olyan nyílt halmazokból álló halmazrendszert értünk, amire teljesül, hogy K részhalmaza uniójának.)
Bizonyítás
Cantor-tétellel
A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, β ∈ A indexre létezik olyan γ ∈ A index, hogy Fγ ⊆ Fα∩Fβ (azaz lefelé irányított), akkor az halmazrendszer metszete nem üres.
Jelölje A az I véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges α ∈ A-ra:
Ekkor a halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, β ∈ A-ra a γ := α U β elem olyan, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan α∈A, hogy Fα ≠ ∅, ugyanis ekkor
teljesülne.
Ha minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy
ami ellentmondás, hiszen definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy
Tehát van -nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező α∈A-val a a kívánt tulajdonságú lefedés lesz. ■
Bolzano–Weierstrass-tétellel
Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ωi)i=1∞. Definiálunk egy K-ban haladó (xn) sorozatot. Ha Ω1 lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω1 nem fedi le K-t, legyen x1 ∈ K \ Ω1. Ha Ω1 ∪ Ω2 már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x2 ∈ K \ (Ω1 ∪ Ω2). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ωi)i=1n már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (xn) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ K sűrűsödési pontja. Mivel (Ωi)i=1∞ lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ωm nyílt halmaz. u-nak van Ωm-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (xn)-beli tag. (xn) konstrukciója szerint minden n-re (Ωi)i=1n-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ωm-ben is végtelen sok tag van.
Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ωi)i=1∞ sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).
A tétel megfordítása
A lefedési tulajdonság motiválja a kompakt halmaz fogalmát. A K ⊆ R halmaz kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés. Ekkor a Borel–Lebesgue-tétel megfordítása érvényes:
Tétel – R-ben minden kompakt halmaz korlátos és zárt.
Bizonyítás. Legyen K kompakt halmaz.
Először a korlátosságot látjuk be. Legyen u tetszőleges R-beli pont. Ekkor világos, hogy a (B(u,n))n∈N rendszer lefedi K-t. Ebből kiválaszható véges részlefedés, melyek közül a legnagyobb sugarú lefedi K-t, így K átmérője legfeljebb ennek a sugárnak a kétszerese.
Vegyünk egy tetszőleges x pontot K komplementeréből (x ∉ K). A
rendszer lefedi K-t így létezik n darab y1, ..., yn K-beli elem, hogy
Ha r a legkisebb sugár mindközül, akkor a B(x,r) halmaz nem metsz bele az iménti lefedés egyik elemébe sem, így K-ba sem. Tehát K komplementere nyílt, K pedig zárt.
Külső hivatkozások
- [PlanetMath]
- The Heine-Borel Theorem