Borel–Lebesgue-tétel

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(Cantor-tétellel)
9. sor: 9. sor:
 
== Bizonyítás ==
 
== Bizonyítás ==
 
===Cantor-tétellel===
 
===Cantor-tétellel===
A [[Cantor-axióma|Cantor-féle közösrész tétel]] egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha  <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> '''R'''-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden ''&alpha;'', ''&beta;'' &isin; ''A'' indexre létezik olyan ''&gamma;'' &isin; ''A'' index, hogy F<sub>''&gamma;''</sub> &sube; F<sub>''&alpha;''</sub>&cap;F</sub>''&beta;''</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer metszete nem üres.
+
A [[Cantor-axióma|Cantor-féle közösrész tétel]] egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha  <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> '''R'''-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden ''&alpha;'', ''&beta;'' &isin; ''A'' indexre létezik olyan ''&gamma;'' &isin; ''A'' index, hogy F<sub>''&gamma;''</sub> &sube; F<sub>''&alpha;''</sub>&cap;F<sub>''&beta;''</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer metszete nem üres.
  
 
Jelölje ''A'' az <math>I</math> véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges ''&alpha;'' &isin; ''A''-ra:
 
Jelölje ''A'' az <math>I</math> véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges ''&alpha;'' &isin; ''A''-ra:
23. sor: 23. sor:
  
 
Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''&alpha;''&isin;''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big>
 
Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''&alpha;''&isin;''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big>
 +
 
===Bolzano–Weierstrass-tétellel===
 
===Bolzano–Weierstrass-tétellel===
 
Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>&infin;</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha &Omega;<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha &Omega;<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> &isin; ''K'' \ &Omega;<sub>1</sub>. Ha &Omega;<sub>1</sub> &cup; &Omega;<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> &isin; ''K'' \ (&Omega;<sub>1</sub> &cup; &Omega;<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' &isin; ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>&infin;</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy &Omega;<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van &Omega;<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában &Omega;<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van.  
 
Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>&infin;</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha &Omega;<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha &Omega;<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> &isin; ''K'' \ &Omega;<sub>1</sub>. Ha &Omega;<sub>1</sub> &cup; &Omega;<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> &isin; ''K'' \ (&Omega;<sub>1</sub> &cup; &Omega;<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' &isin; ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>&infin;</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy &Omega;<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van &Omega;<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (&Omega;<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában &Omega;<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van.  

A lap 2008. június 13., 18:32-kori változata

A Borel–Lebesgue lefedési tétel vagy Heine–Borel-tétel a matematikai analízis egy a zárt, korlátos intervallumok lényeges tulajdonságára rámutató tétel, mely a topologikus terek elméletében a kompakt halmaz fogalmának motivációjául szolgál.

Tartalomjegyzék

A tétel

Tétel – (Dirichlet 1862, Heine 1872) – Ha KR korlátos és zárt halmaz és K-nak \mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}} nyílt lefedése, akkor ebből kiválasztható véges sok elem, mely még mindig lefedi K-t.

(A K nyílt lefedésén olyan nyílt halmazokból álló \mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}} halmazrendszert értünk, amire teljesül, hogy K részhalmaza \mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}} uniójának.)

Bizonyítás

Cantor-tétellel

A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, βA indexre létezik olyan γA index, hogy Fγ ⊆ Fα∩Fβ (azaz lefelé irányított), akkor az \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} halmazrendszer metszete nem üres.

Jelölje A az I véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges αA-ra:

F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i

Ekkor a \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, βA-ra a γ := α U β elem olyan, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan αA, hogy Fα ≠ ∅, ugyanis ekkor

K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i

teljesülne.

Ha \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy

\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset

ami ellentmondás, hiszen \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}} definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy

\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset

Tehát van \mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező αA-val a \mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}} a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.

Bolzano–Weierstrass-tétellel

Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ωi)i=1. Definiálunk egy K-ban haladó (xn) sorozatot. Ha Ω1 lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω1 nem fedi le K-t, legyen x1K \ Ω1. Ha Ω1 ∪ Ω2 már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x2K \ (Ω1 ∪ Ω2). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ωi)i=1n már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (xn) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne uK sűrűsödési pontja. Mivel (Ωi)i=1 lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ωm nyílt halmaz. u-nak van Ωm-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (xn)-beli tag. (xn) konstrukciója szerint minden n-re (Ωi)i=1n-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ωm-ben is végtelen sok tag van.

Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ωi)i=1 sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).

A tétel megfordítása

A lefedési tulajdonság motiválja a kompakt halmaz fogalmát. A KR halmaz kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés. Ekkor a Borel–Lebesgue-tétel megfordítása érvényes:

TételR-ben minden kompakt halmaz korlátos és zárt.

Bizonyítás. Legyen K kompakt halmaz.

Először a korlátosságot látjuk be. Legyen u tetszőleges R-beli pont. Ekkor világos, hogy a (B(u,n))nN rendszer lefedi K-t. Ebből kiválaszható véges részlefedés, melyek közül a legnagyobb sugarú lefedi K-t, így K átmérője legfeljebb ennek a sugárnak a kétszerese.

Vegyünk egy tetszőleges x pontot K komplementeréből (xK). A

\mbox{ }_{\left(\,B\left(y,\frac{d(y,x)}{2}\right)\,\right)_{y\in K}}

rendszer lefedi K-t így létezik n darab y1, ..., yn K-beli elem, hogy

\mbox{ }_{K\subseteq\bigcup\limits_{i=1,...,n}\,B\left(y_i,\frac{d(y_i,x)}{2}\right)}

Ha r a legkisebb sugár mindközül, akkor a B(x,r) halmaz nem metsz bele az iménti lefedés egyik elemébe sem, így K-ba sem. Tehát K komplementere nyílt, K pedig zárt.

Külső hivatkozások

Személyes eszközök