Dimenziótétel
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Magtér) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a |
||
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | A '''dimenziótétel''' | + | A '''dimenziótétel''' a lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha '''A''': ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés, ahol ''V'' véges dimenziós vektortér, ''U'' pedig tetszőleges vektortér, akkor |
− | :<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math> | + | :<math>\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math> |
==Magtér és Képtér== | ==Magtér és Képtér== | ||
===Magtér=== | ===Magtér=== | ||
13. sor: | 13. sor: | ||
===Képtér=== | ===Képtér=== | ||
− | Az '''A''' : ''' | + | Az '''A''' : ''V'' <math>\to</math> ''U'' lineáris leképezés képtere: |
− | :<math>\mathrm{Im}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathbf{A}v\in | + | :<math>\mathrm{Im}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathbf{A}v\in U\mid v\in V\}</math> |
világos, hogy ez [[lineáris altér|altér]]. Ugyanis ''alkalmas'' ''v'' és ''u'' vektorokkal: | világos, hogy ez [[lineáris altér|altér]]. Ugyanis ''alkalmas'' ''v'' és ''u'' vektorokkal: | ||
:<math>\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=\mathbf{A}(v+u)</math> | :<math>\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=\mathbf{A}(v+u)</math> | ||
57. sor: | 57. sor: | ||
vagyis, amit be akartunk látni. | vagyis, amit be akartunk látni. | ||
− | + | ===Megjegyzés=== | |
+ | Világos, hogy a fenti bizonyításban a B által generál altér és a C által generált altér közös része a {0} (vagyis csak a 0-t állítják elő mindeketten). Ugyanis, ha lenne ''v'' ≠ 0, hogy | ||
:<math>v=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kc_k\,</math> | :<math>v=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kc_k\,</math> | ||
és közben | és közben | ||
:<math>v=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_kc_k\,</math> | :<math>v=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_kc_k\,</math> | ||
− | akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B | + | akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B U C nem független rendszer (holott B U C a B egy kibővítése a ''V'' bázisává). |
Ilyenkor azt mondjuk, hogy a ''V'' vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek '''direkt összeg'''eként: | Ilyenkor azt mondjuk, hogy a ''V'' vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek '''direkt összeg'''eként: | ||
− | :<math> | + | :<math>V=\langle B\rangle\oplus\langle C\rangle\,</math> |
[[Kategória: Lineáris algebra]] | [[Kategória: Lineáris algebra]] |
A lap jelenlegi, 2008. május 25., 09:14-kori változata
A dimenziótétel a lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha A: V U lineáris leképezés, ahol V véges dimenziós vektortér, U pedig tetszőleges vektortér, akkor
Tartalomjegyzék |
Magtér és Képtér
Magtér
Az A : V U lineáris leképezés magtere:
világos, hogy ez altér. Ugyanis altér jelemzhető úgy, mint olyan részhalmaz a térben, mely zárt az összeadásra és a skalárral történő szorzásra. De Ker(A) ilyen, mert tetszőleges u, v vektorra
és
A speciális V = Rn, U = Rm, esetben például bázist az A leképezés [A] mátrixának Gauss-eliminációjával és az [A]x=0 homogén egyenletrendszer megoldásával nyerhetünk (példa itt).
Képtér
Az A : V U lineáris leképezés képtere:
világos, hogy ez altér. Ugyanis alkalmas v és u vektorokkal:
és
A speciális V = Rn, U = Rm, esetben például úgy nyerünk bázist, hogy a A leképezés [A] mátrixának oszlopvektorai közül Gauss-eliminációval kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa itt).
Bizonyítás
Ha vesszük Ker(A) egy
bázisát (Ker(A) dimenziója tehát k) akkor világos, hogy a báziselemek képei által kifeszített
altér az U-beli triviális {0} altér. Világos, hogy ha veszük egy Ker(A)-n kívüli c vektort, akkor ez már nem képeződhet a {0}-ba. Megfogalmazhatjuk tehát azt a sejtést, hogy ha B-t kibővítíjük V bázisává, mondjuk a
független vektorrendszerrel, akkor C elemeinek képei Im(A) bázisát fogja adni. Ezt fogjuk igazolni, azaz hogy
és ami a tétel állítását igazolja: Im(A) dimenziója pont l.
1. Először belátjuk, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } generátorrendszere Im(A)-nak. Legyen
Mivel B + C bázisa V-nek, ezért u előáll (egyértelmű módon)
alakban. De u képében a B-beliekkel előállíthatók a {0}-ba mennek, így már a C-ből jövő képek is előállítják Au-t:
2. Belátjuk, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } független vektorrendszer is, tehát dimenziója l.
Tegyük fel, hogy vannak ν1, ν2, ...,νl számok, melyekkel
A függetlenséghez az kell, hogy ν1, ν2, ...,νl-k mind nullák legyenek. Természetesen a bal oldalon kiemelhetünk A-t, tehát:
Ez viszont pontosan azt jelenti, hogy ha az
rövidítéshez folyamodunk, akkor
azaz az u vektor B-beli elemekkel is és C-beli elemekkel is előállítható. De ez csak úgy lehet, hogy u=0, ami pedig csak akkor van, ha a ν1, ν2, ...,νl számok mind nullák.
Mindez azt jelenti, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } bázis, amiből következik, hogy az általa kifeszített altér dimenziója l. De a kifeszített altér pont Im(A), így azt kaptuk, hogy
vagyis, amit be akartunk látni.
Megjegyzés
Világos, hogy a fenti bizonyításban a B által generál altér és a C által generált altér közös része a {0} (vagyis csak a 0-t állítják elő mindeketten). Ugyanis, ha lenne v ≠ 0, hogy
és közben
akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B U C nem független rendszer (holott B U C a B egy kibővítése a V bázisává).
Ilyenkor azt mondjuk, hogy a V vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek direkt összegeként: