Dimenziótétel
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
2. sor: | 2. sor: | ||
:<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math> | :<math>\mathrm{dim}\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = \mathrm{dim}(V)</math> | ||
− | + | ==Magtér és Képtér== | |
===Magtér=== | ===Magtér=== | ||
Az '''A''' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés magtere: | Az '''A''' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés magtere: | ||
21. sor: | 21. sor: | ||
A speciális ''V'' = '''R'''<sup>n</sup>, ''U'' = '''R'''<sup>m</sup>, esetben például úgy nyerünk bázist, hogy a '''A''' leképezés <nowiki>[</nowiki>'''A'''<nowiki>]</nowiki> mátrixának oszlopvektorai közül [[Gauss-elimináció]]val kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa [[Lineáris altér#4. (képtér)|itt]]). | A speciális ''V'' = '''R'''<sup>n</sup>, ''U'' = '''R'''<sup>m</sup>, esetben például úgy nyerünk bázist, hogy a '''A''' leképezés <nowiki>[</nowiki>'''A'''<nowiki>]</nowiki> mátrixának oszlopvektorai közül [[Gauss-elimináció]]val kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa [[Lineáris altér#4. (képtér)|itt]]). | ||
− | + | ==Bizonyítás== | |
Ha vesszük Ker('''A''') egy | Ha vesszük Ker('''A''') egy | ||
:<math>B=\{b_1,...,b_k\}\,</math> | :<math>B=\{b_1,...,b_k\}\,</math> |
A lap 2008. május 24., 17:07-kori változata
A dimenziótétel az lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (komplementer jellegű) kapcsolatra mutat rá. Azt állítja, hogy ha A: V U lineáris leképezés, ahol V véges dimenziós vektortér, U pedig tetszőleges vektortér, akkor
Tartalomjegyzék |
Magtér és Képtér
Magtér
Az A : Rn Rm lineáris leképezés magtere:
világos, hogy ez altér. Ugyanis altér jelemzhető úgy, mint olyan részhalmaz a térben, mely zárt az összeadásra és a skalárral történő szorzásra. De Ker(A) ilyen, mert tetszőleges u, v vektorra
és
A speciális V = Rn, U = Rm, esetben például bázist az A leképezés [A] mátrixának Gauss-eliminációjával és az [A]x=0 homogén egyenletrendszer megoldásával nyerhetünk (példa itt).
Képtér
Az A : Rn Rm lineáris leképezés képtere:
világos, hogy ez altér. Ugyanis alkalmas v és u vektorokkal:
és
A speciális V = Rn, U = Rm, esetben például úgy nyerünk bázist, hogy a A leképezés [A] mátrixának oszlopvektorai közül Gauss-eliminációval kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa itt).
Bizonyítás
Ha vesszük Ker(A) egy
bázisát (Ker(A) dimenziója tehát k) akkor világos, hogy a báziselemek képei által kifeszített
altér az U-beli triviális {0} altér. Világos, hogy ha veszük egy Ker(A)-n kívüli c vektort, akkor ez már nem képeződhet a {0}-ba. Megfogalmazhatjuk tehát azt a sejtést, hogy ha B-t kibővítíjük V bázisává, mondjuk a
független vektorrendszerrel, akkor C elemeinek képei Im(A) bázisát fogja adni. Ezt fogjuk igazolni, azaz hogy
és ami a tétel állítását igazolja: Im(A) dimenziója pont l.
1. Először belátjuk, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } generátorrendszere Im(A)-nak. Legyen
Mivel B + C bázisa V-nek, ezért u előáll (egyértelmű módon)
alakban. De u képében a B-beliekkel előállíthatók a {0}-ba mennek, így már a C-ből jövő képek is előállítják Au-t:
2. Belátjuk, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } független vektorrendszer is, tehát dimenziója l.
Tegyük fel, hogy vannak ν1, ν2, ...,νl számok, melyekkel
A függetlenséghez az kell, hogy ν1, ν2, ...,νl-k mind nullák legyenek. Természetesen a bal oldalon kiemelhetünk A-t, tehát:
Ez viszont pontosan azt jelenti, hogy ha az
rövidítéshez folyamodunk, akkor
azaz az u vektor B-beli elemekkel is és C-beli elemekkel is előállítható. De ez csak úgy lehet, hogy u=0, ami pedig csak akkor van, ha a ν1, ν2, ...,νl számok mind nullák.
Mindez azt jelenti, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } bázis, amiből következik, hogy az általa kifeszített altér dimenziója l. De a kifeszített altér pont Im(A), így azt kaptuk, hogy
vagyis, amit be akartunk látni.
Megjegyzés. Világos, hogy a fenti bizonyításban a B által generál altér és a C által generált altér közös része a {0} (vagyis csak a 0-t állítják elő mindeketten). Ugyanis, ha lenne v ≠ 0, hogy
és közben
akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B + C nem független rendszer (holott B + C a B egy kibővítése a V bázisává).
Ilyenkor azt mondjuk, hogy a V vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek direkt összegeként: