Ekvikonvergencia kritérium

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap jelenlegi, 2017. június 14., 16:07-kori változata

Ha $\sum(a_n)\,$ és $\sum(b_n)\,$ két pozitív tagú sor és létezik és pozitív szám a

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}$

határérték, akkor az $\sum(a_n)\,$ és $\sum(b_n)\,$ sorok vagy egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.

$\sum\limits_{n=2}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$

konvergens, mert

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^2}}=1$

hiszen ln(1+kicsi)/kicsi tart az 1-hez, és a ∑1/n² sor konvergens.

$\sum\limits_{n=1}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$

divergens, mert

$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{ \frac{1}{ n^{1+\frac{1}{n}} }}{ \frac{1}{n} }=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1$

és a ∑1/n harmonikus sor divergens.

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ==Sorokra.==
-Ha <math>\sum(a_n)\,</math> és <math>\sum(b_n)\,</math> két pozitív tagú sor és létezik és pozitív számhoz tart a
+Ha <math>\sum(a_n)\,</math> és <math>\sum(b_n)\,</math> két pozitív tagú sor és létezik és pozitív szám a
 :<math>\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}</math>
 határérték, akkor az <math>\sum(a_n)\,</math> és <math>\sum(b_n)\,</math> sorok vagy egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.
+==Feladatok==
+:<math>\sum\limits_{n=2}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)</math>
+konvergens, mert
+:<math>
+\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^2}}=1</math>
+hiszen ln(1+kicsi)/kicsi tart az 1-hez, és a &sum;1/n<sup>2</sup> sor konvergens.
+:<math>\sum\limits_{n=1}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}</math>
+divergens, mert
+:<math>
+\lim\limits_{n\to \infty} \frac{   \frac{1}{  n^{1+\frac{1}{n}}  }}{  \frac{1}{n}  }=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1</math>
+és a &sum;1/n harmonikus sor divergens.