Ekvikonvergencia kritérium

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2013. október 18., 20:57-kori változata

Ha $\sum(a_n)\,$ és $\sum(b_n)\,$ két pozitív tagú sor és létezik és pozitív szám a

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}$

határérték, akkor az $\sum(a_n)\,$ és $\sum(b_n)\,$ sorok vagy egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.

$\sum\limits_{n=2}\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

konvergens, mert

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{-\frac{1}{n^2}}=1$

és a negatív tagú ∑-1/n² sor konvergens.

$\sum\limits_{n=1}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$

divergens, mert

Értelmezés sikertelen (formai hiba): \lim\limits_{n\to \infty} +\infty}\frac{\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}=1

és a ∑1/n harmonikus sor divergens.

@@ 10. sor: / 10. sor: @@
 konvergens, mert
 :<math>
-\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{-\frac{1}{n^2}}=1</math>
+\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{-\frac{1}{n^2}}=1</math>
 és a negatív tagú &sum;-1/n<sup>2</sup> sor konvergens.
-:<math>\sum\limits_{n=2}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}</math>
+:<math>\sum\limits_{n=1}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}</math>
 divergens, mert
 :<math>
-\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}=1</math>
+\lim\limits_{n\to \infty} +\infty}\frac{\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}=1</math>
 és a &sum;1/n harmonikus sor divergens.