Ekvikonvergencia kritérium

A MathWikiből

Sorokra.

Ha \sum(a_n)\, és \sum(b_n)\, két pozitív tagú sor és létezik és pozitív szám a

\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}

határérték, akkor az \sum(a_n)\, és \sum(b_n)\, sorok vagy egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.

Feladatok

\sum\limits_{n=2}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)

konvergens, mert


\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n^2}}=1

hiszen ln(1+kicsi)/kicsi tart az 1-hez, és a ∑1/n2 sor konvergens.


\sum\limits_{n=1}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}

divergens, mert


\lim\limits_{n\to \infty} \frac{   \frac{1}{  n^{1+\frac{1}{n}}  }}{  \frac{1}{n}  }=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1

és a ∑1/n harmonikus sor divergens.

Személyes eszközök