Gauss-elimináció

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Példa)
12. sor: 12. sor:
 
* Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
 
* Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
 
* Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
 
* Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
==Példa==
+
==Példák==
Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
+
'''1.''' Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
 
:<math>2x+y-z=8 \ </math>
 
:<math>2x+y-z=8 \ </math>
 
:<math>-3x-y+2z=-11 \ </math>
 
:<math>-3x-y+2z=-11 \ </math>
19. sor: 19. sor:
 
A kibővített együtthatómátrix így néz ki:
 
A kibővített együtthatómátrix így néz ki:
 
:<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math>
 
:<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math>
 +
 +
'''2.'''
 +
 +
# <math>x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2</math>
 +
# <math>x_1 + x_2 + x_3 = 2</math>
 +
# <math>3x_1 + 3x_2 + x_3 = 0</math>
 +
 +
Az együtthatómátrix:
 +
:[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/0/0e/Gausselimlgs.PNG]
 +
Az eljárás:
 +
:[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/3/3e/Gausseliminierung.PNG]

A lap 2008. február 2., 10:33-kori változata

A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.

Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.

Az eljárás leírása

A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot.

A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.

A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:

  • Sorok felcserélése
  • Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
  • Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása

Példák

1. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:

2x+y-z=8 \
-3x-y+2z=-11 \
-2x+y+2z=-3 \

A kibővített együtthatómátrix így néz ki:

 \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}

2.

  1. x1 + 2x2 + 3x3 = 2
  2. x1 + x2 + x3 = 2
  3. 3x1 + 3x2 + x3 = 0

Az együtthatómátrix:

[1]

Az eljárás:

[2]
Személyes eszközök