Gauss-elimináció
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa) |
|||
12. sor: | 12. sor: | ||
* Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása | * Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása | ||
* Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása | * Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása | ||
− | == | + | ==Példák== |
− | Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: | + | '''1.''' Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: |
:<math>2x+y-z=8 \ </math> | :<math>2x+y-z=8 \ </math> | ||
:<math>-3x-y+2z=-11 \ </math> | :<math>-3x-y+2z=-11 \ </math> | ||
19. sor: | 19. sor: | ||
A kibővített együtthatómátrix így néz ki: | A kibővített együtthatómátrix így néz ki: | ||
:<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | :<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | |||
+ | # <math>x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2</math> | ||
+ | # <math>x_1 + x_2 + x_3 = 2</math> | ||
+ | # <math>3x_1 + 3x_2 + x_3 = 0</math> | ||
+ | |||
+ | Az együtthatómátrix: | ||
+ | :[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/0/0e/Gausselimlgs.PNG] | ||
+ | Az eljárás: | ||
+ | :[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/3/3e/Gausseliminierung.PNG] |
A lap 2008. február 2., 10:33-kori változata
A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.
Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.
Az eljárás leírása
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot.
A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:
- Sorok felcserélése
- Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
- Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
Példák
1. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
A kibővített együtthatómátrix így néz ki:
2.
- x1 + 2x2 + 3x3 = 2
- x1 + x2 + x3 = 2
- 3x1 + 3x2 + x3 = 0
Az együtthatómátrix:
Az eljárás: