Gauss-elimináció
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
||
13. sor: | 13. sor: | ||
* Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása | * Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása | ||
==Példák== | ==Példák== | ||
− | + | ===1.=== | |
+ | Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: | ||
:<math>2x+y-z=8 \ </math> | :<math>2x+y-z=8 \ </math> | ||
:<math>-3x-y+2z=-11 \ </math> | :<math>-3x-y+2z=-11 \ </math> | ||
20. sor: | 21. sor: | ||
:<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | :<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | ||
− | + | ===2.=== | |
# <math>x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2</math> | # <math>x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2</math> |
A lap 2008. február 2., 10:34-kori változata
A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.
Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.
Tartalomjegyzék |
Az eljárás leírása
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot.
A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:
- Sorok felcserélése
- Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
- Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
Példák
1.
Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
A kibővített együtthatómátrix így néz ki:
2.
- x1 + 2x2 + 3x3 = 2
- x1 + x2 + x3 = 2
- 3x1 + 3x2 + x3 = 0
Az együtthatómátrix:
Az eljárás: