Gauss-elimináció
17. sor: | 17. sor: | ||
:<math>-3x-y+2z=-11 \ </math> | :<math>-3x-y+2z=-11 \ </math> | ||
:<math>-2x+y+2z=-3 \ </math> | :<math>-2x+y+2z=-3 \ </math> | ||
+ | A kibővített együtthatómátrix így néz ki: | ||
+ | :<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> |
A lap 2008. február 1., 23:48-kori változata
A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.
Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.
Az eljárás leírása
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot.
A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak aminél minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:
- Sorok felcserélése
- Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
- Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
Példa
Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
A kibővített együtthatómátrix így néz ki: