Gauss-elimináció

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
1. sor: 1. sor:
 
A '''Gauss-elimináció''' egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.
 
A '''Gauss-elimináció''' egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.
  
Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lepcsős alakra redukáljuk.
+
Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.
  
 
==Az eljárás leírása==
 
==Az eljárás leírása==
13. sor: 13. sor:
 
* Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
 
* Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
 
==Példa==
 
==Példa==
 +
Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
 +
:<math>2x+y-z=8 \ </math>
 +
:<math>-3x-y+2z=-11 \ </math>
 +
:<math>-2x+y+2z=-3 \ </math>

A lap 2008. február 1., 23:40-kori változata

A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.

Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.

Az eljárás leírása

A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot.

A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak aminél minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.

A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:

  • Sorok felcserélése
  • Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
  • Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása

Példa

Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:

2x+y-z=8 \
-3x-y+2z=-11 \
-2x+y+2z=-3 \
Személyes eszközök