Gauss-elimináció

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
6. sor: 6. sor:
 
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a ''kibővített együtthatómátrixot''.
 
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a ''kibővített együtthatómátrixot''.
  
A kibővített együtthatómátrix akkor ''lépcsős alakú'', ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A ''redukált lépcsős alak'' az olyan lépcsős alak aminél minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
+
A kibővített együtthatómátrix akkor ''lépcsős alakú'', ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A ''redukált lépcsős alak'' az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
  
 
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az ''elemi sorekvivalens átalakítások'':
 
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az ''elemi sorekvivalens átalakítások'':

A lap 2008. február 1., 23:54-kori változata

A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.

Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.

Az eljárás leírása

A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot.

A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.

A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:

  • Sorok felcserélése
  • Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
  • Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása

Példa

Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:

2x+y-z=8 \
-3x-y+2z=-11 \
-2x+y+2z=-3 \

A kibővített együtthatómátrix így néz ki:

 \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}
Személyes eszközök